I - Polinômios

I - Polinômios

1 - Definição:

Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) .

Entende-se por polinômio em C à função:

P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an, onde os números complexos ao , a1 , ... , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Exemplo :

P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ).

O grau de P(x) é igual a 5 .

Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:

Binômio : possuem dois termos. Exemplo : r(x) = 3x + 1 (grau 1).

Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2).

A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios.

1.1 - Valor numérico do polinômio

Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m , ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?

Teremos, substituindo a variável x por x = -1  p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 p(-1) = 6.

1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio

O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 .

Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 .

Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1.

O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .

1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

Exemplos:

a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10  S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.

b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x?

Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).

IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida.

Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ?

Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).

Outro exemplo:

Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ?

Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296

2 - Identidade de polinômios

2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P  0 (polinômio nulo) .

Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .

2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais .

Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P  Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais .

A expressão P  Q é denominada identidade .

Exercício resolvido:

Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2) .

Solução:

Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 

P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever :

P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1  0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10.

Resp: 10

3 - Divisão de polinômios

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia  46:6 = 7 e resto 4  46 = 6.7 + 4) .

2) gr R(x)  gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio.

Notas:

1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) .

2) se gr P  gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .

3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .

4) se gr P(x)  gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .

3.1 - Resto da divisão pelo binômio x - a.

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .

Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ;

Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que

P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Consequência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x - a .

Essa afirmação é conhecida como teorema