INTEGRAÇÃO SOBRE SUBSTITUIÇÃO E DETALHES

3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO E POR PARTES

3.1 PASSO 1

Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1.

Sobre a Integração por substituição, o processo de integração não é tão simples quanto o de derivação. Porém, há algumas ideias e técnicas que são facilmente aplicáveis, como a aplicação das propriedades de integração já vistas. Outra técnica muito importante de integração é a Regra da Substituição. Esta regra consiste na aplicação da Regra da Cadeia ao contrário.

 Regra da Substituição:

Se F'(x)=f(x), então ∫f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C.

Apesar de sua ideia ser bastante simples, a aplicação da Regra da Substituição não é tão trivial.

Como você faria para calcular ∫2e2x+1dx? Antes de vermos como faremos para aplicar a regra, falaremos um pouco sobre as diferenciais, pois eles podem facilitar a aplicação da Regra da Substituição.

Entendemos as diferenciais como os símbolos dx, dy ou du, que aparecem nas notações de derivadas, dudx, e de integrais ∫f(x)dx. Podemos tratá-los como símbolos que podem ser manipulados algebricamente, ou seja, podem ser multiplicados, divididos, ou, principalmente, "cancelados" em algumas operações: du=dudxdx, ou, equivalentemente, du=u'(x)dx (lembre-se da notação da derivada dudx=u'(x) e "passe o multiplicando").

Exemplos:

u=x²→ du=2xdx, pois u'(x)=2x

u=x³+7 → du=3x²dx, pois u'(x)=3x²

 Método da Integração por Partes:

A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas. Assim, vamos retomá-la.

Se quisermos diferenciar uma função do tipo:

f(x)g(x),

Fazemos:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).

Mas daí temos que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitiva para f(x)g(x). Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como:

∫f(x)g'(x)+g(x)f'(x)dx=f(x)g(x)+C.

Separando a soma e reorganizando os termos obtemos:

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx.

Que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha anterior, pois fica imbutida na integral ∫f'(x)g(x)dx.

Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer

u=f(x), du=f'(x)dx e

v=g(x), dv=g'(x)dx,

Daí, obtemos a versão mais difundida da Integração por Partes, como mostra abaixo.

Fórmula para a Integração por Partes

∫udv=uv-∫vdu.

A Integração por Partes não resolve imediatamente a integral ∫udv, pois é preciso calcular a integral ∫vdu para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil.

Para calcular a integral, ∫xexdx, citada como exemplo no início deste texto, utilizando a fórmula acima, precisou encontrar cada parte que vemos na fórmula, ou seja, u, du, v e dv.

3.2 PASSO 2

Considerem as seguintes igualdades:

∫〖(3-t).〖(t^2-6t)〗^4 dt=(〖-(t^2-6t)〗^5+C)/10〗

∫_"0" ^"5" 〖"t" /√("t+4" ) "dt=4,67" 〗