Integração ilimitada

Sumário

Introdução..........................................................................................................01

Integração Indefinida........................................................................................02

Integração definida............................................................................................03

Desafio A,B.........................................................................................................04

Desafio C,D.........................................................................................................05

Integração por Substituição..............................................................................06

Integração por Partes........................................................................................07

Desafio A.............................................................................................................08

Desafio B.............................................................................................................09

Calculo de Área..................................................................................................10

Calculo de Área..................................................................................................11

Desafio................................................................................................................12

Volume de Solido de Revolução.......................................................................13

Desafio................................................................................................................14

Conclusão...........................................................................................................15

Bibliografia.........................................................................................................16

Introdução

O Calculo de Integrais, assim como qualquer outra matéria no curso de Engenharia, apresenta grande ênfase e destaque, por ser a única que ao longo do curso seus conhecimentos são aplicados à outras áreas para a resolução de problemas e na construção de ideias para esses problemas. Sendo uma vasta área que abrange por todo o curso em que um engenheiro estuda, não se limita apenas na engenharia, mas também em outras. Para se obter certo resultado em um processo, há varias fases que abrangem muitas áreas do conhecimento, sendo elas inseridas no estudo do Calculo. O Cálculo, essencialmente, serve para que um engenheiro como e porque aquilo que ele esta projetando ou produzindo funciona, quais os princípios que regem seu sistema.

Integral Indefinida

Integral Indefinida e o processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. Primitiva ou Antiderivação: Uma função F para a qual F’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. Sendo que a primitiva não é única. Se F é uma primitiva de função contínua f, logo qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante. Logo, quando F for uma função contínua, então a sua integral é dada por ʃ f(x)dx = F(x) + C, em que F é uma primitiva de f, C é a constante de integração, ʃ é chamado de sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x. Para verificar se uma primitiva foi de fato calculada corretamente, é determinada a derivada da solução F(x) + C. Se essa derivada for igual a f(x), logo a primitiva está correta, se for diferente, então existe algum erro nos cálculos. Propriedades da Integral Indefinida: ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx, onde k é uma constante qualquer. ʃ [f(x) ± g(x)] dx = ʃ f(x) dx ± ʃ g(x) dx ʃ X n dx 

X n 1 , n ≠ -1 n 1

A integral da soma é a soma das integrais separadas, se aplicando a qualquer numero finito de termos. Já para integrar uma potência, é somada ao expoente uma unidade e dividida a nova potência pelo novo expoente. Se f é uma função na forma f(x) = g(u(x))u’(x), ou seja, se na expressão de f aparecer uma função e sua derivada, então a sua integral em relação a x pode ser calculada do seguinte modo: ʃ f(x) dx = ʃ g(u(x))u’ (x) dx = ʃ g(u) du , em que du = u’ (x) dx. O método de integração explicado anteriormente é chamado de mudança de variável, em que mudamos a variável x para u, calculamos a integração em relação a u e depois retornamos a resposta para x.

Integral Definida

Como já visto, a taxa f(x) = dF/dx, em que uma determinada grandeza F encontra-se variando e é objetivado encontrar a quantidade que a grandeza F irá variar entre x = a e x = b. Encontrando assim, por antiderivação F e então a diferença da variação resultando em f(b) – f(a) Logo,

Torna-se o resultado do calculo, chamado de integral definida da função f.

O Símbolo é lido como a integral definida de f de a ate b. Os números a e b são chamados de limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é frequentemente conveniente usar o símbolo: F(x)|ªb para a diferença F(b) – F(a)

Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] . Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura Δx = (b – a)/n e seja x j um número pertencente ao j- ésimo intervalo, para j = 1,2, ..., n. Neste caso, a

, se este limite existir. Logo, demonstra-se que se a função y = f(x) é continua em um intervalo [a, b], então ela é integrável em [a, b].

A