Interpretação geométrica

DERIVADAS

Interpretação Geométrica

INTRODUÇÃO: Se f é uma função, como medir a inclinação do gráfico de f(x)

num de seus pontos P (x0,f(x0))?

f(x1)

f(x0) A equação de uma geral de uma reta que passa pelo

 ponto P(x0,y0) e tem coeficiente angular m, é dada

x0 x1 por:

x = x1-x0

Exemplos:

1) Se f(x) = x2, encontre o coeficiente angular da reta tangente a f(x) no ponto (1,1). E depois no ponto P(x,y).

2) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 nos pontos (x1,y1), (2,1),

(0,1) (1,0) . E interprete graficamente.

DEFINIÇÃO: A derivada de uma função f(x) no ponto (x1,y1) é denotada por f´(x1)

(f linha de x1) e é definida pelo limite:

quando o limite existe.

Como este limite nos da a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x1,y1), geometricamente a derivada da função y = f(x) no ponto x1 representa a inclinação da curva neste ponto.

A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f´(x) tal que x  Dom f, e é dada por f´(x). Outras Notações de derivada: Dx f(x), f / x, Dx f(x).

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Teorema 1: Se f é uma função constante definida por f(x) = c, então f´(x) = 0 ( Dx f(x) = 0 ) ou ( f / x = 0 ). ( A derivada de uma constante é zero).

Exemplos: 1) Se f ( x ) = 3 Calcule f’(x)

2) Se Calcule g’(x)

Teorema 2: Se f ( x ) = x, então f’(x) = 1 ou Dx f(x) = 1 ou f / x = 1

Exemplo: Se h( t ) = t calcule h’(t)

Teorema 3: ( Regra da Potência ) Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então

Exemplos: 1) Se f ( x ) = x 6 calcule f’(x)

2) Se g( t ) = t 10 calcule g’ (t)

Teorema 4: ( Derivada do Produto de uma constante por uma função) Se f é uma função, c uma constante e g a função definida por g ( x ) = c f( x ), então se f’(x) existe:

Exemplos: 1) Se h ( x ) = 3x5 calcule h’(x)

2) Se calcule f / z

Teorema 5: ( Derivada de uma soma ) Se f e g são funções diferenciáveis, e se h é definida

por: h (x) = f (x) + g (x) , então

Exemplos: 1) Se g ( x ) = 6x 2 + 3x – 1 calcule Dx [ g(x) ]

2) Se f ( x ) = 4x 5 - 2x 3 + x - 6 calcule f’(x)

Teorema 6: ( Derivada de um Produto) Se f e g são funções diferenciáveis, e se h é definida por :

h (x) = f(x) g(x) então

Exemplos: 1) Se h ( x ) = ( 3x2 – 1) ( x4 + x2) calcule h’(x)

2) Se f ( t ) = (2t 3 + 2t ) ( 3t2 – 2) – ( t5 + 2t4 ) 5t7 calcule f / t

Teorema 7: ( Derivada de um Quociente ) Se f e g são funções diferenciáveis, tal que g(x)  0  x  Dom g, e se h é definida por :

h (x) = Então

Exemplos: 1) Se h ( x ) = , calcule Dx [ h ] = h’(x)

2) Se f ( z ) = , calcule f’ (z)

Proposição: Se n é um número inteiro positivo e f(x) = x -n, e x  0, então

DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA

Sejam f e g duas funções deriváveis onde y = g(u) e u = f(x). Se f(x) está no domínio de g, podemos escrever

y = g(u) = g(f(x)) isto é, y é função de x.

Proposição( Regra da Cadeia ): Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas y/u e u/x existem, então a função composta definida por y = g(f(x)) tem derivada definida por:

Exemplos: 1) Se y = u3 e u = x2 +1 ,calcule

2) Se y = u7 e u = x2 + 5x + 2 ,calcule Dx y

3) Se y = u5 e u = ,calcule y ’

4)Dada a função y = (3t2 + 1)3 ( t – t2 )2, determine y ‘

5) Se y = ( 8x – 7 )-3 ( 7x2 + 4)-2, calcule y’

Proposição: Se u = g(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então:

E assim, se u = g(x) é uma função derivável e r é um número racional não nulo qualquer, então:

Exemplos: 1) Se f(x) = ( x2 +1)5 ,calcule f’(x)

2) Se y = 3  x2 - 6x + 1 ,calcule Dx y

3) Se y = t5 + ( 2t + 3 ) 4 + 3 t , determine

4)Se y = determine y ‘

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