Lista Funçoes De Varias Variaveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Lista 1

Domínios, Grácos e Níveis

1  Nos seguintes exercícios, (i) encontre o domínio, (ii) encontre a imagem, e (iii) descreva as curvas de nível da função: (a)f(x,y) = x2 − y2 (b)f(x,y) = y x2 (c)f(x,y) = 1 √16−x2−y2 (d)f(x,y) =p9 − x2 − y2 (e)f(x,y) = ln(x2 + y2) (f)f(x,y) = e−(x2+y2)

2  Esboçe o gráco das funções a seguir: (a)f(x,y) = 3 (b)f(x,y) = y (c)f(x,y) = 1 − x − y (d)f(x,y) = cos(x) (e)f(x,y) = 1 − x2 (f)f(x,y) = 3 − x2 − y2 (g)f(x,y) = 4x2 + y2 + 1 (h)f(x,y) =p16 − x2 − 16y2 (i)f(x,y) =px2 + y2

3  Considere as funções: (a)f(x,y) = x + y. Para que valroes de x e y tem-se f(x,y) = 2? Represente gracamente a resposta. (b)f(x,y) = 2x+y. Para que valores de x e y tem-se f(x,y) = 1? Represente gracamente a resposta. (c)f(x,y) = xy. Para que valores de x e y tem-se f(x,y) = 1? Represente gracamente a resposta.

4  Desenhe as curvas de nível Ck para os valores de k dados: (a)z = x2 − y2; k = 0,1,2,3.

(b)z = y2 − x2; k = 0,1,2,3. (c)z = 1 2 lnpx2 + y2; k = 0,1,2,3.(d) f(x,y) = |x| + |y|; k = 1,2,4

5  Uma camada na de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x,y) no ponto (x,y). As curvas de nível de T são chamadas de isotérmicas por que todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por

T(x,y) =

100 1 + x2 + 2y2

.

6  Se V(x,y) é o potencial elétrico de um ponto (x,y) do plano xy, as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboçe algumas curvas equipotenciais de

V(x,y) =

c pr2 − x2 − y2onde c é uma constante positiva.

7  Dada a função f(x,y) = 1 x2+y2 , pede-se: (a)Asequaçõesdascurvasdenível z = 1/4, z = 4 e z = 9. (b)Aequaçãoeoesboçodacurvadenívelquecontém o ponto (0,2). (c)Umesboçodográcodafunção. 8  Seja f(x,y) =p10 − x − y2. (a)Representeodomíniode f no plano xy e determine a imagem de f. (b)Identiqueasinterseçõesdográcode f com os planos z = 0, z = 1, z = 2, y = 0 e x = 0. (c)Façaumesboçodográcode f.

9  Associe a função (a) com seu gráco (indicado por A-F na gura 1) e (b) com suas respectivas curvas de nível (indicado por I-VI na gura 2)1. (a)z = sin(px2 + y2) (b)z = x2y2e−x2−y2

(c) 1 x2+4y2

(d)z = x3 − 3xy2

(e)z = sin(x)sin(y)

(f)z = sin2(x) + 1 4y2

Figura 1

Figura 2

10  Na Figura 3 são mostradas curvas de nível para a função f. Use-ase para estimar o valor de f(−3,3) e f(3,−2). O que você pode dizer sobre a forma do gráco de f(x,y)?

Figura 3

1Fonte das guras: Cálculo, Stewart, 5a edição, vol 2, pág. 899, Cengage Learning

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