Matematica Empresarial

As funções de receita e custo de uma empresa são dadas por

R(x)= -x² +(8+ 9)x e C(x) = 0,5x + 8+ 1

, onde a variável x representa a quantidade e R e C são representadas em unidades monetárias. Determine o que se pede em cada item:

a) O custo para x = 0;

b) A receita para x = 6

c) O(s) ponto(s) de nivelamento entre a receita e o custo;

d) A função lucro;

e) O lucro ou prejuízo para x=1

f) O lucro máximo.

g) O gráfico das duas funções receita e custo no mesmo sistema de eixos;

h) O gráfico da função lucro;

Resposta

R(x) = -x² + (8+9)x = -x² + 17x

C(x) = 0,5x + 8 + 1 = 0,5x + 9

a) O custo para x = 0: C(0) = 0,5 × 0 + 9 = R$ 9,00

b) A receita para x = 6: R(6) = -6² + 17 × 6 = -36 + 102 = R$ 66,00

c) O(s) ponto(s) de nivelamento entre a receita e o custo.

Ponto de nivelamento é o ponto onde a receita iguala o custo, ou seja:

R(x) = C(x) ⇒ -x² + 17x = 0,5x + 9 ⇒ -x² + 16,5x - 9 = 0 ⇒ x² - 16,5x + 9 = 0 ⇒

2x² - 33x + 18 = 0

Resolvendo esta equação de segundo grau com a fórmula de Bhaskara, chegamos a dois valores para x:

x' = 15,9352 unidades e x'' = 0,5648 unidades

Estas são as abscissas dos dois pontos de nivelamento. As ordenadas destes dois pontos são, respectivamente, C(x') = R(x') e C(x") = R(x").

d) A função lucro.

Lucro é a diferença entre receita e custo. A função lucro é, portanto:

L(x) = R(x) - C(x) = -x² + 17x - (0,5x + 9) = -x² + 16,5x - 9

e) O lucro ou prejuízo para x = 1: L(1) = -1² + 16,5 × 1 - 9 = -1 + 16,5 - 9 = R$ 6,50 (lucro, pois é positivo).

f) O lucro máximo.

Como a função lucro é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o termo que acompanha x² é negativo (-1), então o lucro é máximo no vértice da parábola.

A abscissa do vértice, para uma parábola qualquer ax² + bx + c é dada pela fórmula:

x_{\text{v\'ertice}}=-\frac{b}{2a}

Como a função lucro é dada por L(x) = -x² + 16,5x - 9, então a abscissa do vértice é igual a:

x_{\text{v\'ertice}}=-\frac{16,5}{-2}=8,25\text{ unidades}

O