Matemática - Probabilidade - Conceitos Básicos

De um baralho de 52 cartas, correctamente baralhado, tiram-se cartas à sorte. Calcular a probabilidade de ao extrair:

duas cartas serem ambas de Copas;

duas cartas serem uma Dama e um Valete;

três cartas serem todas de Ouros e entre elas figurar o Ás.

Exercício 1, p. 43, J. Antunes Lopes, Probabilidades, Estatística e Erros, Ed. Faculdade de Ciências, Universidade de Coimbra, 1969.

Respostas

1/17

8/663

Resolução do 3.

Há 13 Ouros no baralho, pelo que a probabilidade de sair um Ouro que não o Ás, ao extrair uma carta, é 12/52. Como ficam 51 cartas, ao extrair a 2ª carta, a probabilidade de ser um Ouro, mas sem ser o Ás, é 11/51; e na 3ª extracção, a probabilidade de ser o Ás de Ouro é 1 / 50. Logo, a probabilidade será

\displaystyle\frac{12}{52}\displaystyle\frac{11}{51}\displaystyle\frac{1}{50}=\displaystyle\frac{11}{11050}

No entanto, o Ás poderá ser extraído na 1ª, 2ª ou 3ª tiragem. Por isso a probabilidade pedida é tripla da anterior:

\displaystyle\frac{33}{11050} \qquad\blacktriangleleft

Outro método de resolução: O mesmo resultado seria obtido através da fracção

\displaystyle\dfrac{\displaystyle\binom{1}{1}\displaystyle\binom{12}{2}}{\displaystyle\binom{52}{3}}=\dfrac{33}{11050}

O denominador \displaystyle\binom{52}{3}=22100 dá o número de combinações de 52 cartas extraídas 3 a 3. O numerador é o produto de \displaystyle\binom{1}{1}=1 que é a combinação de um Ás de Ouro escolhido de entre apenas 1 por \displaystyle\binom{12}{2}=66 combinações de 12 cartas de Ouro que não Ases, extraídas 2 a 2.

NOTA: A extracção de 3 cartas de uma só vez é equivalente a 3 tiragens sucessivas sem reposição.

[21-04-2013: Editada a redacção da resolução, corrigido erro nas fracções do produto, mas mantidos os resultados. Acrescentado 2.º método de resolução.]