Mec Fluido

Introdução

Até o início deste século, o estudo dos fluidos foi classificado essencialmente em dois grupos, a saber, Hidráulicos e Matemáticos. Os hidráulicos trabalhavam de forma empírica, isto é, pela prática e sem a devida modelagem matemática dos processos básicos envolvidos, enquanto os matemáticos se concentravam na forma analítica.

O grande número de experiências do primeiro grupo forneceu informações de valor inestimável, entretanto, por falta de proveitos generalizados da teoria existente, esses resultados eram restritos e de valor limitado a situações novas.

Uma formulação completa das equações do movimento de um fluido viscoso tornou se disponível desde 1845; completa no sentido de que ela incluía forças viscosas, 10 gravitacionais e de pressão na equação do momento linear. Conhecidas como Equações de Navier-Stokes, elas são em grande parte, contribuições de Navier, Poisson, St.Venant e Stokes durante o período de 1827 a 1845. Estas equações constituem um conjunto de equações de derivadas parciais não lineares.

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836), um grande especialista na construção de estradas e pontes, ficou universalmente conhecido pela primeira dedução das equações de movimento de um fluido em 1822. Apesar de não conhecer o conceito de tensões cisalhantes em um fluido, Navier deduziu as equações para um fluido viscoso baseando suas premissas em modificações das equações de Euler e em considerações sobre as forças de interação entre as moléculas de um fluido.

George Gabriel Stokes (1819-1903), ao terminar sua graduação em 1841, dedicou-se à pesquisa em hidrodinâmica. Em suas investigações, Stokes corretamente deduziu as equações do movimento em um fluido levando em conta seu atrito interno. Outros pesquisadores já haviam obtido resultados semelhantes, notadamente Navier, Poisson e Saint Venant. De qualquer forma, Stokes considerou que seus resultados haviam sido obtidos por meio de hipóteses suficientemente diferentes para justificar a publicação.

Dedução da equação de Navier Stokes

Para a dedução da equação de Stokes temos que começar vendo as leis básicas que governam o movimento do fluido

Conservação da matéria (equação da Continuidade);

∫_A▒〖ρ(x,0)dx=〗 ∫_(X(A,t))▒ρ(x,t)dx

Segunda Lei de Newton (equação da quantidade de Movimento);

F ⃗=m.a ⃗

Conservação do Movimento ( 1° Lei da Termodinâmica);

2° Lei da Termodinâmica

ɲ=1-T_f/T_q

Aplica-se a 2a lei de Newton a uma partícula de fluido infinitesimal de massa dm. A 2a lei de Newton para um sistema finito é dada por:

□(F ⃗ )=(□(24&d)p ⃗)/dt

onde a q.d.m. do sistema é dada por:

P ⃗=∫▒V ⃗ dm

Então, para um sistema de massa infinitesimal, dm, a 2alei de Newton pode ser escrita:

dF ⃗=dm (□(24&d)V ⃗)/dt

Utilizando a derivada substancial, podemos escrever a 2a lei de Newton em um campo de velocidades da seguinte forma:

dF ⃗=dm (□(24&d)V ⃗)/dt (u (∂V ⃗)/∂x+v (∂V ⃗)/∂y+w (∂V ⃗)/∂z+(∂V ⃗)/∂t)

Tipos de forças:

•forcas de campo, F_B

•forças de superfície, Fs

:•Forças normais, σ

•Forças Tangenciais, τ

Define-se tensão como sendo a força por unidade de área. Consideremos uma pequena porção finita ΔA da superfície de contorno de um corpo. A força ΔF pode ser decomposta em componentes normal e tangencial à área, como ΔFn, e ΔFs , respectivamente. A tensão normalσ nn e a tensão de cisalhamento τss em um ponto são definidas pelo seguinte processo-limite:

〖σ_nn lim┬(ΔA→0)〗⁡〖ΔFn/ΔA〗

〖τ_nn lim┬(ΔA→0)〗⁡〖ΔFn/ΔA〗

Observa-se que σ_nn e τ_nn são, na realidade, componentes de força por unidade de área em um ponto do corpo

Figura 1: Componentes de força de contato

Pode-se observar que a tensão depende de dois elementos que tem direção e sentido e, que no interior de um objeto, não existem superfícies bem definidas entre uma força de contato e outra. Logo, é de se esperar que o valor de uma tensão depende não só da intensidade da força que está sendo aplicada, com também da direção da superfície que se está considerando. Para estabelecer uma notação conveniente para designar as tensões no interior de um objeto, consideremos um paralelepípedo retangular infinitesimal de fluido. Utilizou-se um esquema de duplo índice para identificar as tensões. O primeiro índice indica a direção da normal ao plano associado com a tensão, enquanto o segundo índice indica a direção da tensão em si.

Figura 2 :Tensões aplicadas no paralelepípedo

Conhecendo as tensões em três interfaces infinitesimais ortogonais em um ponto, podemos determinar as tensões sobre quaisquer interfaces infinitesimais no ponto, usando fórmulas de transformação. Se as distribuições destas quantidades são conhecidas através do meio, estamos efetivamente descrevendo a forma pela qual a força está sendo transmitida através do meio.

Sejam l, m e n os cossenos diretores de σ_nne exprimindo a lei de Newton na direção teremos as nove componentes escalares de um tensor das tensões, são usualmente indicadas por uma matriz de ordem 3x3, onde os primeiros índices são comuns para uma dada linha e os seguintes são comuns para uma coluna e multiplicando a matriz pelos cossenos diretores (l, m, n), que indicam a direção do elemento de área considerado obtém-se:

(l.m.n).(■(σ_xx&τ_xy&τ_xz@τ_yx&σ_yy&τ_yz@τ_zx&τ_zy&σ_zz )).■(l@m@n)=

σ_nn=σ_xx l²+σ_yy m²+σ_zz n²+τ_xy lm+τ_yx ml+τ_yz mn+τ_zy nm+τ_zx nl+τ_xz ln