Mecânica Clássica E Relativística

Topicos de Mec^anica Classica

Marcus A. M. de Aguiar

11 de Novembro de 2010

ii

Conte´udo

Pref´acio vii

Agradecimentos ix

1 Mecˆanica Newtoniana 1

1.1 O princ´ıpio determin´ıstico de Newton . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 O grupo de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Exemplos elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Movimento de uma part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Movimento em uma dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Osciladores anarmˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Sistemas de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7.1 Equa¸c˜oes de movimento e quantidades conservadas . . 21

1.7.2 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao radial . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3 A equa¸c˜ao da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.4 As trˆes leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 As Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange 33

2.1 V´ınculos e graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 O princ´ıpio de D’Alembert: caso est´atico . . . . . . . . . . . . 35

2.3 O princ´ıpio de D’Alembert e as equa¸c˜oes de Lagrange . . . . . 38

2.4 Lagrangeana para a for¸ca de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Princ´ıpios Variacionais 51

3.1 O princ´ıpio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iii

iv CONTEUDO

3.2 O m´etodo variacional de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1 A caten´oide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2 A braquist´ocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 O princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Coordenadas c´ıclicas e leis de conserva¸c˜ao . . . . . . . . . . . 70

3.5.1 Conserva¸c˜ao dos momentos linear e angular . . . . . . 71

3.5.2 Conserva¸c˜ao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Sobre a unicidade da Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7 O teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7.1 Varia¸c˜ao segunda da a¸c˜ao para sistemas simples . . . . 79

3.7.2 Demonstra¸c˜ao do teorema de Morse . . . . . . . . . . . 82

3.8 O problema da causalidade e as integrais de caminho de Feynman 85

3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 As Equa¸c˜oes de Hamilton 91

4.1 A transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 As equa¸c˜oes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Hamiltoniana versus Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Nota¸c˜ao simpl´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 O Princ´ıpio de Hamilton Modificado . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6 Propriedades da A¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.7 O princ´ıpio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.8 Espa¸co de Fases e Superf´ıcie de Energia . . . . . . . . . . . . . 107

4.9 Se¸c˜oes de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Transforma¸c˜oes Canˆonicas 121

5.1 Fun¸c˜oes Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2 Exemplos de Transforma¸c˜oes Canˆonicas . . . . . . . . . . . . . 128

5.3 Formula¸c˜ao Simpl´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4 O Grupo Simpl´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.5 Transforma¸c˜oes Infinitesimais e a Identidade de Jacobi . . . . 135

5.6 Equa¸c˜oes de Movimento e Leis de