Modelagem

Razão de ser

Estas notas de aula tem como função unicamente assessorar o processo de aprendizado. Ou seja, pretende-se com estas anotações disponibilizar ao aluno um guia de estudo, uma espécie de “sub-caderno”.

Longe de condensar todas as informações da disciplina ou todos os assuntos debatidos em sala de aula, estas notas são um material complementar e auxiliar às aulas além de sempre dinâmico (frequentemente alterado, portanto cuide de ter sempre a última versão).

Elas serão disponibilizadas antes de cada aula no WEBCAF.

Ler estas notas antes da aula fará com que sua compreensão da disciplina aumente, contudo mesmo sem lê-la anteriormente é fundamental que sejam levadas para sala de aula juntamente com seu caderno de modo que possam esclarecer suas dúvidas e que você as utilize para colocar observações, comentários ou marcar pontos importantes.

Espero que seja útil. Além disso, qualquer crítica, comentário ou indicação de erro serão bem-vindos.

1. Introdução

A Pesquisa Operacional tem origem na necessidade de se resolver e controlar problemas complexos de logística, controle de recursos e projetos. Ela é intrinsecamente multidisciplinar reunindo conceitos de estatística, psicologia e economia, sempre matematicamente orientada para que seja capaz de resolver os problemas de maneira quantitativa.

A Pesquisa Operacional é uma das maiores conquistas científicas do século XX fruto dos desafios bélicos da Segunda Grande Guerra (1939 – 1945) que nos tempos posteriores ao conflito difundiu-se pelos grupos de estudiosos e empresários que buscavam métodos mais eficientes e eficazes de organizar suas atividades.

O desafio quase sempre é distribuir recursos limitados entre atividades que disputam por tais recursos. De forma geral busca-se sempre um planejamento de atividades objetivando tornar o resultado ótimo (o melhor resultado possível frente às variáveis consideradas).

Percebam que a maior qualidade da Pesquisa Operacional também determina seus limites. Ao tentar seguir um “método científico”, a Pesquisa Operacional investiga o problema, observa os fatos, formula a problemática indicando os dados relevantes. Em seguida o problema real será reduzido a um modelo matemático que representa a essência do problema real. Neste ponto fica implícita a premissa de que acreditamos que a solução do problema matemático também será válida para o problema real. Para sustentar esta premissa buscamos validar o modelo verificando alguma hipótese.

Fica claro então que a Pesquisa Operacional tem o compromisso de ser uma ferramenta de gestão, fornecendo soluções práticas a problemas reais, auxiliando a tomada de decisão. Por isso é fundamental analisar os resultados advindos do modelo matemático observando a subjetividade inerente e as questões práticas das atividades.

A figura a seguir retrata esta necessidade de interpretar as informações provenientes do modelo matemático, utilizando os conhecimentos do gestor que tomará as decisões.

Como consequência do que debatemos, as etapas de um estudo de Pesquisa Operacional serão:

a) Definir o problema de interesse e coletar os dados referentes às variáveis consideradas relevantes.

b) Formular um modelo matemático para representar o problema, indicando a as relações quantitativas e qualitativas das variáveis.

c) Desenvolver um procedimento computacional para derivar as soluções do modelo.

d) Testar as soluções do modelos, verificando as hipóteses do problema real.

e) Implementar a solução obtida do modelo e analisada pelos gestores.

A definição do problema real é uma atividade exclusivamente gerencial, para a qual a Pesquisa Operacional tem pouco a contribuir. Uma vez definido, precisamos construir um modelo matemático que represente e interprete o problema real. Trataremos disso agora.

2. Modelagem

Um modelo é a representação de um sistema real. As diferenças entre a solução real e a solução proposta pelo modelo depende da precisão do modelo em descrever o comportamento original do sistema.

Em Pesquisa Operacional utilizamos modelos matemáticos. Nestes modelos as grandezas são representadas por variáveis e as relações entre as mesmas por sistemas de equações ou inequações. Por esta razão precisamos sempre de informações quantificáveis ao modelar um problema de Pesquisa Operacional.

Os modelos matemáticos apresentam três elementos principais:

a) Variáveis de decisão e parâmetros - As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas na solução do modelo. Os parâmetros são constantes presentes nas restrições e na função objetivo (F.O.).

b) Restrições – Expressões que representam os limites físicos do problema, definindo o universo de soluções viáveis (possíveis).

c) Função Objetivo – É a medida de desempenho apropriada do problema e é expressa através das variáveis de decisão.

Em linguagem matemática fica assim:

Se a função objetivo juntamente com todas as restrições forem representadas por funções lineares, então dizemos que temos um modelo de Programação Linear. Caso ao menos uma das restrições ou a função objetivo forem equações/inequações não-lineares, dizemos que o modelo é de Programação não-linear.

Neste curso vamos dar ênfase especial à Programação Linear, visto sua aplicabilidade aos problemas reais e seus métodos mais simples de resolução.

A premissa de que o problema pode ser representado por relações lineares emerge as seguintes propriedades:

a) Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade ao valor da função objetivo Z é proporcional ao nível da atividade representado pela variável de decisão.

b) Aditividade: a contribuição total de todas as atividades da função objetivo e das restrições é a soma direta das contribuições individuais.

c) Divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir qualquer valor não inteiro.

d) Certeza: os coeficientes da função objetivo e das restrições devem ser bem conhecidos.