Modelagem e Resolução

APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO

Professor: William Wagner Matos Lira Monitor: Ricardo Albuquerque Fernandes

1 ERROS

1.1 Introdução

1.1.1 Modelagem e Resolução

A utilização de simuladores numéricos para determinação da solução de um problema requer a execução da seguinte seqüência de etapas: Etapa 1: Definir o problema real a ser resolvido Etapa 2: Observar fenômenos, levantar efeitos dominantes e fazer referência a conhecimentos prévios físicos e matemáticos Etapa 3: Criar modelo matemático Etapa 4: Resolver o problema matemático Modelagem: Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve um problema físico em questão. Resolução: Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da obtenção da solução analítica ou numérica.

1.1.2 Cálculo Numérico

O cálculo numérico compreende: A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas; O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos); O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No entanto, não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

1.1.3 Fontes de erros

Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer? Conhecemos também a equação onde:

• • • • •

s é a posição final; s0 é a posição inicial; v0 é a velocidade inicial; t é o tempo percorrido; g é a aceleração gravitacional.

A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equação acima que a altura do edifício é de 19,6 metros. Essa resposta é confiável? Onde estão os erros? Erros de modelagem: − Resistência do ar, − Velocidade do vento, − Forma do objeto, etc. Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.

Erros de resolução: − Precisão dos dados de entrada (Ex. Precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros, gravidade); − Forma como os dados são armazenados; − Operações numéricas efetuadas; − Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).

1.2 Representação numérica

Motivação: Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros. a) 31140 m2 b) 31416 m2 c) 31415,92654 m2 Exemplo 2: Calcular S = ∑1

3000

xi para xi = 0.5 e para xi = 0.11

S para xi = 0.5 Calculadora Computador Por que das diferenças? 15000 15000

S para xi = 0.11 3300 3299,99691

No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π : a) π =3,14 b) π =3,1416 c) π =3,141592654 Dependência da aproximação escolhida para π . Aumentando-se o número de dígitos aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato. No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base utilizada, da forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas operações aritméticas. O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto, discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia? Base decimal (Utiliza-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria dos computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1. Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a conversão para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os resultados na base decimal para o usuário. Exemplos: (100110)2 = (38)10 (11001)2 = (25)10

1.2.1 Representação de um número inteiro

Em princípio, representação de um número inteiro no computador não apresenta qualquer dificuldade. Qualquer computador trabalha internamente com uma base fixa β , onde β é um inteiro ≥ 2 ; e é escolhido como uma potência de 2. Assim dado um número inteiro x ≠ 0 , ele possui uma única representação,

x = ±(d n d n−1 ...d 2 d1d 0 ) = ±(d n β n + d n−1 β n−1 + ... + d1 β 1 + d 0 β 0 )

onde d i é um dígito da base em questão, no caso de uma base binária d n = 1 e d n−1 ,...,d 0 são iguais a 1 ou 0 que são os dígitos da base binária. Exemplos: a) Como seria a representação do número 1100 numa base β = 2

(1100) 2 = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 21 + 0 × 2 0

Portanto (1100 ) 2 = (1100 ) 2 . b) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10 ?

1997 = 1 × 10 3 + 9 × 10 2 + 9 × 101 + 7 × 10 0

Logo, 1997 = (1997)10 .

1.2.2 Representação de um número real

Se o número real x tem parte inteira xi , sua parte fracionária xf = x - xi pode ser escrita como uma soma de frações binárias:

x f = ± (bn bn −1 ...b2 b1b0 ) = ± (b1 β −1 + b2 β −2 + ... + d n −1 β − ( n −1) + d n β n )

Assim o número real será representado juntando as partes inteiras e fracionárias, ou seja,

onde, x possui n+1 algarismos na parte inteira e m+1 algarismos na parte fracionária. Exemplo: a) Como seria a representação do número 39,28 em uma base decimal?

(39,28)10 = (3 × 101 + 9 × 100 ) + (2 × 10−1 + 8 × 10−2 ) (39,28)10 = (39,28)10