Modelo ARCH GARCH

Existe uma ampla variedade de modelos para a estimação da volatilidade de séries de retorno de ativos financeiros, e os mais difundidos na literatura são os modelos auto-regressivos com heterocedasticidade (ARCH), propostos por ENGLE (1982). Tal modelo caracteriza uma dependência não-linear entre os retornos, função da dependência serial da variância condicional.

A proposição original, elaborada por ENGLE (1982), mereceu extensos debates e diversos aperfeiçoamentos ao longo dos anos, principalmente para ampliar o conjunto de informações utilizado e obter uma formulação mais parcimoniosa, dado à alta persistência na volatilidade da série de retornos e, conseqüentemente, implicando a necessidade de estimação de um grande número de parâmetros pelo modelo ARCH. O primeiro, e mais significativo, foi introduzido por BOLLERSLEV (1986), ao propor que a volatilidade condicionada fosse função não apenas dos quadrados dos erros passados, como também dos seus próprios valores passados, passando os modelos assim construídos a serem denominados “Generalized ARCH”, GARCH.

Modelo ARCH

Neste modelo, a variância condicional é uma função linear do quadrado das inovações passadas. Assim sendo, o modelo ARCH (q) pode ser representado da seguinte forma:

(o retorno em t é igual a uma constante acrescida do erro residual do modelo em t),

, ,

(informações disponíveis em t-1),

,

Para esse modelo ser bem definido e a variância condicional ser positiva, as restrições paramétricas devem satisfazer e > 0, i = 1,2,.......,p

Modelo GARCH

Uma importante extensão do modelo ARCH é a sua versão generalizada proposta por Bollerslev (1986), denominada GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity). Neste modelo, a função linear da variância condicional inclui também variâncias passadas. Assim sendo, a volatilidade dos retornos depende dos quadrados dos erros anteriores e também de sua própria variância em momentos anteriores. A variância é dada da seguinte forma:

onde as restrições são dadas por: >0, i = 1,2,.....q ; b > 0 , j = 1,2,....,p e . Assim sendo, segue um modelo GARCH (p,q), onde q representa a ordem do componente ARCH e p a ordem do componente GARCH.

O modelo GARCH (1,1) é a versão mais simples e mais utilizada em séries financeiras. Supondo-se que os erros são normalmente distribuídos, a variância é dada por:

,

O coeficiente mede a extensão em que um choque no retorno hoje afeta a volatilidade do retorno do dia seguinte. A soma revela a medida de persistência da volatilidade, ou seja, a taxa que reflete como o impacto de um choque no retorno hoje se propaga ao longo do tempo, sobre a volatilidade dos retornos futuros. Isso mostra que a alta persistência o choque enfraquecerá lentamente.

A fim de provar uma tendência de volatilidade, no principal índice da Bolsa de Valores brasileira, o IBOVESPA, utilizamos o modelo ARCH sobre o retorno mensal do índice, no período de 2003 a 2011.

Gráfico do IBOVESPA em pontos

Gráfico