Números complexos

Introdução.

A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram mais ou menos 300 anos, desenvolvendo assim teoria sobre esse conjunto numérico.

Durante o estudo da matemática é muito comum ouvir a seguinte frase “Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do segundo grau”. Com base na teoria dos números complexos, além de sua origem, pode-se afirmar que essa afirmação é verdadeira?

Resposta: A construção da teoria dos números complexos não foram inventados para resolver equações do segundo grau, mas sim na busca da solução da equação do terceiro grau. A explicação é bem comum, não é frequente encontrar alguém que iria buscar raízes num campo numérico desconhecido?

Até 1.650 d.C., em respeito a geométrica da matemática grega, as únicas raízes verdadeiras eram as que correspondiam á grandezas geométrica ou física, assim interpretadas como comprimento, área, massas, etc. Hoje em dia conhecida como Números Reais Positivos.

Por exemplo: Bhaskara foi um dos indianos que chegou mais perto da álgebra moderna (conhecia a regra de menos vezes menos dá mais, etc). Sabia que a equação x²-45x=250 tinha dois valores x=5 e x=-5, não consideravam a raiz negativa.

Antes do surgimentos dos cartesianos as raízes eram divididas em Verdadeiras (Reais Positivo) e Falsa (Reais Negativos). A raiz negativa era utilizada na contabilidade como dividas.

 Números Complexos.

Os números complexos surgiram na Itália, para resolver a equação do 3º grau.

Começaram a ser estudados pelo matemático Girolano Cardoso (1501-1576), mostrando que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada, era possível solucionar a equação do 2º grau: x²-10x+40=0. Essa contribuição foi muito importante pois os matemáticos não acreditava que seria possível extrair raiz quadrada de um número negativo.

Após essa contribuição outros matemáticos passaram a estudar esse impasse da matemática, assim obtendo uma formulação.

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, pois contém todos os outros conjuntos.

Investigação do fechamento dos complexos.

Bombelli se preocupou em provar o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1680, encontrou Leibniz que questionou se seria real ou não o resultado:

√(a+ib) + √(a-ib)

Lambert, em 1750, mostrou que √i, i ͥ, etc todos tem a forma a+ib.

Extensão das operações transcendentes aos complexos.

A principal dificuldade foi entender o logaritmo de números complexos. E se vamos falar de  In z, por que não falar no log de reais negativos? Com efeito estendeu-se por muitos anos a polemica do significado e valor do In(-1). Nada menos do que Leibniz, Euler e J. Bernoulli entraram na briga.

Bernoulli alegava que, como 1²=(-1)², tomando o log, obtemos 0=In(-1).

Leibniz dizia que isso não podia ser correto, uma vez que teríamos, In(-1)=0, que -1=e⁰1.

As discussões envolviam argumentos metafísicos e Euler não esclareceu definitivamente a questão. Só ocorreu em 1830 com Martin Ohm, que deu a teoria completa para o calculo de aᵇ e de In a (com a,b complexos).

A aceitação dos números complexos.

Principais Matemáticos responsável pela aceitação dos números complexos

Raphael Bombelli (1526-1572): Algebrista Italiano nascido em Bologna.