Neperiano

O que são Logaritmos neperianos?

O número de Neper, que se representa habitualmente pela letra e, deve ao matemático escocês John

Neper a designação e, e ao matemático suíço Leonhard Euler. O número de Neper é uma constante que surge em várias aplicações científicas. O seu valor encontra-se, por exemplo, ao calcular o limite da sucessão. O valor deste limite é um número irracional

(além disso, é também transcendente, uma vez que não é solução de qualquer equação algébrica.

e coeficientes racionais).

O número de Neper, escrito com dez casas decimais, é e = 2,7182818285 (a última casa decimal resulta

de arredondamento).

Origem

John Naper observou que:

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno )

Sendo a constante k dependente apenas de a, mas não de x. Por exemplo, para a = 2, e para a = 10,

Representação matemática

Ln(x) = logex

Portanto, algumas conseqüências de sua definição podem ser representadas:

Ln 1 = 0

Ln e = 1

Ln e n = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.

1. Logaritmo natural de um produto

ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

(Ln x) / (ln y) = ln x – ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

ln x n = x

Os logaritmos neperianos podem ser resolvidos a partir da transformação a base “e” para a base decimal (10).

Os logaritmos neperianos têm as mesmas propriedades operacionais que os demais logaritmos.

ln(1) = 0

ln(x.y) = ln(x) + ln(y)

ln(xk) = k ln(x)

ln(x/y) = ln(x) - ln(y)

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

é através da integral:

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer: