Números Neperianos

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1

ORIGEM 2

REPRESENTAÇÃO E FÓRMULA 4

FUNÇÕES LOGARITMAS 5

RELAÇÃO COM AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS LOGARITMICAS 6

O número e e a Função Exponencial 6

CONCLUSÃO 8

BIBLIOGRAFIA 9

INTRODUÇÃO

Os logaritmos de base e são muito empregados em Física, Biologia, Química, Economia, e são denominados logaritmos neperianos, em homenagem ao inglês John Napier (ou Nepper) (1550-1617), o primeiro estudioso dos logaritmos. A representação do logaritmo neperiano de um certo número real positivo x é: n x. Os logaritmos neperianos são também chamados de logaritmos naturais.

O número e, que é à base do sistema neperiano de logaritmos, é um número irracional de valor 2,7182818284590 ... Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece freqüentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

ORIGEM

Em 1614, John Nepper (1550-1617), um rico escocês, administrador de suas propriedades, escritor de vários assuntos e pertencente ao grupo de "matemáticos amadores" que tinha verdadeiro e puro amor pela matemática. Nepper tinha como objetivo obter uma forma menos trabalhosa de fazer cálculos. Sua idéia básica consistia em obter o resultado de uma multiplicação através de uma operação mais fácil, a soma. Nota-se que naquela época era exigido um grande sacrifício para efetuar multiplicação entre números grandes, o qual era efetuado por sábios.

Após 20 anos de estudos, publica a obra "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos". Nesta obra Nepper explica a natureza dos logaritmos, segundo sua concepção e fornece em tábua de logaritmos dos senos de 0º a 90º, de minuto em minuto. Levando sua idéia a ser aplicada a trigonometria. O objetivo principal dessa tábua era simplificar a resolução de problemas de cálculo numérico relacionados com o desenvolvimento do comércio e da banca e do progresso da Navegação e Astronomia.

Nesta obra Nepper envolvia de uma forma não explícita o número que hoje se designa por e. Nos seus estudos, Neper observou que, para obter uma base cujas potências não se afastassem muito umas das outras, tinha que ser um número muito próximo de 1. Escolheu 1-1/107 e, para evitar muitas casas decimais, multiplicava depois por 107. Por exemplo, seja N um número e L o respectivo "logaritmo" (como Neper o definia). Vinha então a fórmula

N=107(1-(1/107))L

que se pode escrever

N=107[(1-1/107)10^7]L/10^7.

Observe-se-se que (1-1/107) é uma aproximação de 1/e =e-1. Na notação atual, sendo L o logaritmo à maneira de Nepper, temos N=107e-L/10^7 ao passo que sendo µ o logaritmo natural de N, temos N=eµ.

O "logaritmo neperiano" original relaciona-se com a base e-1 e não é o mesmo que se designa hoje por "logaritmo natural"que usa a base e. Este número é designado por "número de Neper" e os logaritmos de base e por "logaritmos neperianos".

O e é um número irracional, transcendente e surge como limite para valores muito grandes de N da sucessão (1+1/N)N, sendo

e =2,7182818284590452353602874...

Em 1739 Euler utiliza o simbolo e pela primeira vez na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em expoente.

Este número é de grande importancia nas diversas áreas do conhecimento tais como Economia, Engenharia, Biologia, Sociologia..., sendo usado na Matematica no calculo de limites.

A palavra "LOGARITMO" foi inventada por Nepper a partir das palavras gregas "LOGOS" – razão – e "ARITMOS" – número.

REPRESENTAÇÃO E FÓRMULA

O número neperiano é um número irracional e surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucessão

→ e

Representa-se por e sendo e = 2,7182818284590452353602874...

Características do número de Nepper:

- É um número transcendente (número que não é algébrico), pois e não é raíz de nenhum polinômio.

- È um número irracional (não pode ser escrito sob a forma de uma fração).

- O número e pode escrever-se através do desenvolvimento em séries de Mac-Laurin

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...

Podemos dizer que e é a única solução positiva da equação

1x 1/s ds = 1

FUNÇÕES LOGARITMAS

Em 1615, Henry Briggs, professor de Geometria em Oxford e Napier discutiram algumas modificações no método dos logaritmos. Briggs então propôs um sistema de base 10 (a base que Napier usava era um número relacionado com o número e) e ambos concordaram que as tábuas logarítmicas seriam mais úteis e práticas com tal alteração e, assim, surgiram os logaritmos decimais utilizados hoje em dia. Através das tábuas de logaritmos com a publicação do tratado: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos).

A descoberta dos logaritmos simplificou os cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise