Números Complexos

Nome Sandra Pereira Rodrigues

Trabalho de Calculo IV

1. Motivação

Circuito de corrente alternada

1. Um resistor cuja resistência vale 50W é percorrido por uma corrente alternada que obedece a função:

i = 2(unidades do SI)

Determine:

(a) A frequência da corrente alternada;

(b) A máxima intensidade de corrente;

(c) O valor eficaz da corrente alternada;

(d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro;

(e) A potência dissipada pelo resistor.

Números Complexos

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Em algumas situações, é comum a troca da letra pela letra , devido ao frequente uso da primeira como indicação de corrente elétrica. Os numeros complexos tem como característica a possibilidade de admitirem diferentes formas de representação. Forma algébrica, forma de pares ordenados, forma de vetores, forma trigonométrica e forma matricial.

2. Plano Complexo

Representação Algébrica

Um número complexo representa-se por z = a + ib com a, b R. Diz-se que:

a é a parte real de z e escreve-se Re(z) = a;

b é a parte imaginária de z e escreve-se Im (z) = b.

Diz-se que:

O complexo z é um número real se e só se Im(z) = 0.

O complexo z é um imaginário puro se e só se Re (z) = 0 e Im(z) 0

O complexo z é nulo se e só se Re (z) = Im (z) = 0.

Assim, pode-se definir:

Conjunto dos números reais como R = {a + ib C: b = 0}

Conjunto dos números imaginários puros como I = {a + ib C: a = 0}

Representação geométrica

A representação dos complexos é feita num referencial cartesiano, em que se fixa o eixo das abcissas para o conjunto R e o eixo das ordenadas para o conjunto I. Assim, a cada complexo z = a + ib, corresponde o ponto do plano P(a, b), que se designa por afixo de z. Pode-se, também, considerar o complexo z como o vector OP, sendo O a origem do referencial.

Ao referencial com estas características dá-se o nome de Plano Complexo.

Representação Trigonométrica ou polar

A representação trigonométrica dos números complexos é um caso particular da utilização das coordenadas polares.

Na representação trigonométrica, um número z é determinado pela norma do vector que o representa e pelo ângulo que faz com o semieixo positivo das abcissas.

Ao ângulo chama-se argumento de z e a dá-se o nome de módulo de z, com

z = a + ib. Portanto:

= arg(z) e = (a2+b2).

Sendo o argumento de z, + 2k também o será. Assim chama- se argumento principal ao tal que: - .

A partir das relações trigonométricas obtêm-se:

cos = a/ sen = b/ a = cos , b = sen Portanto:

z = a + bi z = cos + ( sen )i z = (cos + i sen )

Forma Trigonométrica: A = (cos + i sen ) dá-se o nome de cis e podemos escrever

z = cis

Da relação tg = b/a consegue-se o valor de : é tal que tg = b/a.

Exemplo 1: z = iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que =

Onde

Assim sua representação na forma trigonométrica é

+ se .

3. Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

Considere um número complexo qualquer escrito na forma trigonométrica:

z = (cos + i sen )

Queremos obter uma expressão para o cálculo de zn, onde n é um número natural. Segue que:

Ou

cos + i sen

Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:

cos +

Que pode ser simplificada para:

cos (n .

Que é chamada de Fórmula de Moivre para potenciação de números complexos.

Exemplo 1: Dado o número complexo calcule o valor de .

= . [ cos(10 . + )]

Assim obtemos:

= 1024 . [ cos( + )]

Exemplo 2: Calcule o valor de , sendo z o numero complexo 1 + .

Solução:

|z|² = 1² + ( )²

|z|² = 1 +

|z|² = 4

|z| = 2

Segue que:

sen

Como o numero complexo z = 1 + está localizado no 1º quadrante do plano da Argand-Gauss, podemos concluir que

Assim, temos que:

Z = 2 . (cos + )

3.2 Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:

Exemplo 1: As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

: Determine as raízes quadradas de 2i.

Solução:

z = 2i

|z| =

|z| = = = 2

= 1

= 0

= 90° =

Assim, a forma trigonométrica de z = 2i é: Z = 2 . (cos + )

Fórmula de Moivre:

Como queremos as raízes quadradas de z, obteremos duas raízes distintas .

Para k = 0, teremos

=

=

4 .Resolvendo a Motivação:

1. Um resistor cuja resistência vale 50W é percorrido por uma corrente alternada que obedece a função:

i = 2(unidades do SI)

Determine:

(a) A frequência da corrente alternada;

(b) A máxima intensidade de corrente;

(c) O valor eficaz da corrente alternada;

(d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro;

(e) A potência dissipada pelo resistor.

Resolução

Comparando com MAX

i = , temos:

(a)

(b) A

(c) = 8ª

(d)

P =

(e) P =

P = 400V . 8A = 3200V

5. BIBLIOGRAFIA

http://www.ifi.unicamp.br/~hugo/apostilas/livro.pdf

http://www.alunosonline.com.br/matematica/potenciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.html

http://www.fis.ufba.br/~ossamu/fis3/textos/Alternada.pdf

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm#Potenciação

http://www.slideshare.net/luizakokkonen/numeros-complexos-7042996#btnNext