Números complexos

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2

(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2

(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2

(a + bi) x (c + di)

ac + adi + bci + bdi2

ac + adi + bci + bd (-1)

ac + adi + bci – bd

ac - bd + adi + bci

(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 x z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada

de -1. Pode-se escrever então: i = -1 .

Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: -16 = 16 . -1 = 4.i = 4i

Potências de i :

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i2 . i = -i

i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1

i5 = i4 . i = 1.i = i

i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1

i7 = i6 . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo

1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.

Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i2001

Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .

NÚMERO COMPLEXO

Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:

z = a + bi , onde i = -1 é a unidade imaginária .

Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)

w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)

u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:

a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .

b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.

Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .

c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .

d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .

Ex: z = 5 = 5 + 0i .

e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,

o