O Lugar do construtivismo na matemática

 Construtivismo (matemática)

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Na filosofia da matemática, o construtivismo afirma que é preciso encontrar (ou "construir"), um objeto matemático para provar que ela existe. Quando se assume que um objeto não existe e deriva uma contradição dessa suposição, ainda não encontrou-se o objeto e, portanto, não é provada a sua existência, de acordo com o construtivismo. Este ponto de vista envolve uma interpretação verificacional do quantificador de existência, o que está em desacordo com a sua interpretação clássica.

Há muitas formas de construtivismo. Estes incluem o programa de intuicionismo fundado por Brouwer, o finitismo de Hilbert e Bernays, a matemática recursiva construtiva de Shanin, e o programa de análise construtiva. de Markov e Bishop. O Construtivismo também inclui o estudo da teoria dos conjuntos construtivos como IZF e o estudo da teoria dos topos.

O Construtivismo é frequentemente identificado com o intuicionismo, embora intuicionismo seja apenas um programa construtivista. O intucionismo sustenta que os fundamentos da matemática residem na intuição do matemático, tornando a matemática em uma atividade intrinsecamente subjetiva. Outras formas de construtivismo não se baseiam nesse ponto de vista da intuição, e são compatíveis com um ponto de vista objetivo em matemática.

Índice  [esconder] 

1        Matemática Construtiva

1.1        Exemplo de análise real

1.2        Cardinalidade

1.3        Axioma da escolha

1.4        Teoria da medida

2        O lugar do construtivismo na matemática

3        Matemáticos construtivistas que fizeram grandes contribuções ao construtivismo

4        Ramos

5        Ver também

6        Notas

7        Referências

8        Ligações externas

Matemática Construtiva[editar | editar código-fonte]

Muito da matemática construtiva usa a lógica intuicionista, que é essencialmente a lógica clássica sem a lei do terceiro excluído. Esta lei estabelece que, para qualquer proposição, a própria proposição ou sua negação é verdadeira. Isso não quer dizer que a lei do terceiro excluído é totalmente negada; casos especiais da lei serão prováveis. Acontece que a lei geral não é assumida como um axioma. A lei da não contradição (que afirma que as declarações contraditórias não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo) ainda é válida.

Por exemplo, na aritmética de Heyting, pode-se provar que, para qualquer proposição P que não contém quantificadores quantificadores, {\displaystyle \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb {N} :p\vee \neg p}  é um teorema (onde x, y, z... são as variáveis ​​livres na proposição p). Neste sentido, as proposições restritas ao finito ainda são consideradas como sendo verdadeiras ou falsas, pois elas estão na matemática clássica, mas esta bivalência não se estende às proposições que referem-se a infinitas coleções.

Na verdade, L.E.J. Brouwer, fundador da escola intuicionista, viu a lei do terceiro excluído como abstraída da experiência finita, e em seguida, aplicada ao infinito sem justificação. Por exemplo, a conjectura de Goldbach é a afirmação de que todo número par (maior que 2) é a soma de dois número primos. É possível testar para qualquer número par em particular, seja ele a soma de dois números primos ou não (por exemplo, por pesquisa exaustiva), de modo que qualquer um deles ou é a soma de dois números primos, ou não é. E até agora, cada número até hoje testado tem sido de fato a soma de dois números primos.

Mas não há nenhuma prova conhecida de que todos eles são assim, nem qualquer prova conhecida que nem todos eles sejam. Assim, para Brouwer, não temos justificativas em afirmar "ou conjectura de Goldbach é verdadeira, ou não." E enquanto a conjectura pode um dia ser resolvida, o argumento aplica-se a problemas semelhantes não resolvidos; para Brouwer, a lei do terceiro excluído era equivalente a assumir que todo problema matemático tem uma solução.

Com a omissão da lei do terceiro excluído como um axioma, o sistema lógico restante tem uma propriedade existencial que a lógica clássica não: sempre que {\displaystyle \exists _{x\in X}P(x)}  é comprovada de forma construtiva, então {\displaystyle P(a)}  é provada de forma construtiva para (pelo menos) um {\displaystyle a\in x} , muitas vezes chamado de testemunha . Assim, a comprovação da existência de um objeto matemático está ligada à possibilidade da sua construção.

Exemplo de análise real[editar | editar código-fonte]

Na análise real clássica, uma maneira para definir um número real é como uma classe equivalente da sucessão de Cauchys of números racionais.

na matemática construtiva, uma maneira de se construir um número real é como uma função matemática ƒ que recebe como entrada um inteiro positivo {\displaystyle n}  e retorna um ƒ(n) racional, juntos com a função g que recebe um inteiro positivo n and retorna um g(n) inteiro positivo de modo que

{\displaystyle \forall n\ \forall i,j\geq g(n)\quad |f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}

assim enquanto n aumenta, os valores de ƒ(n) ficam cada vez mais próximos. Podemos usar ƒ e 'g juntos para computar uma aproximação racional tão próxima quanto possível ao número real que elas representam

A partir dessa definição, uma simples representação do número real e é:

{\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\quad g(n)=n.}

Esta definição corresponde à definição clássica usando sequências de Cauchy, exceto por uma diferença na construção: para uma sequência de Cauchy clássica, é necessário que, para qualquer distância dada, existe (no sentido clássico) um membro na sequência em que todos os membros estão mais próximos que essa distância. Na versão construtiva, é necessário que, para qualquer distância, seja possível especificar um ponto na sequência onde isso acontece (Essa necessidade é geralmente chamada como módulo de convergência). na verdade, a interpretação construtiva padrão