O aspecto das integrais

ETAPA I

1.1 – PASSO I

Surgimento das Integrais

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

Algumas "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: .

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

1.2- PASSO II

Desafio A

∫ (a^3/3+3/a^3 +3/a) da

f(a) = =a³/3+3/a³+3/(a ) =

f(a) = 3a/a³+3/a³+3/a=

f(a) = 3 a/4+3a²/(-2)+3 ln⁡〖 |a|〗 =

f(a) = a/12+3/2a²+3 ln⁡〖 |a|〗 + C

A alternativa certa do Desafio A é a letra (b).

Desafio B

C’(q) = 1000 + 50q x dq =

C(q) = 1000q+50qx25=

C(q) = 1000q+25q²+C =

C(q) = $10000 + 1000q + 25q²

A alternativa certa do Desafio B é a letra (a)

Desafio C

1992-1994

Sabe-se C(t) = 16,1e^0,007t =

C(1992) = 16,1e^0,07x2 =

C(1992) = 18,52 bilhões

C(1994) = 16e^0,07x4 =

C(1994) = 21,24 bilhões

18,52 bilhões

+21,24 bilhões

= 39,76 bilhões.

A alternativa certa do Desafio C é a letra (c)

Desafio D

2e^x/2 -> x=2u

dx= 2 Du

-3/2e x u/2 x Du =

2- 3/2e x u.Du = 2e. x^2 x2 -3 =

2e x 2/2 -2xe -3/2 =

5,43-0,44 = 4,99

A alternativa certa do Desafio D é a letra (a)

1.3 – PASSO III

Desafio A:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida aprendido em aula, no desafio A do passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, assim chegando à resposta exata.

Desafio B

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi à alternativa (a) que direciona a associação ao número 0, o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta estudada na aula de Calculo II onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará o custo final conforme a variação da medida da perfuração.

Desafio C

A resposta que obtemos