O conceito de Angle: sua história e idéias relacionadas

ÁNGULOS

" Ângulo é a figura formada por duas semi-retas com origem comum, pode ser formada pela rotação que leva uma semi-reta sobre a outra. A medida desta rotação dá a grandeza do ângulo". (Herder Lexikon)

Ángulos: importância e contextos de uso

Dentre os vários conceitos geométricos, o conceito de ângulo é um dos mais importantes e complexos. Sua importância, inconteste, se dá pelo alto grau de conexões internas e externas.

Ángulo se constitui num conceito chave para o estudo de figuras semelhantes, casos de congruência de triângulos, construção de polígonos regulares, relações métricas num triângulo, trigonometria, geometria analítica, geometria espacial e outros tópicos.

Mesmo em temas de natureza aritmética ou algébrica, como proporcionalida-de e funções, os ângulos intervêm. A inclinação de uma reta dá informações sobre a posição relativa de duas retas, que pode ser decidida pela comparação de seus respectivos coeficientes angulares; a velocidade ou aceleração de um objeto em movimento também pode ser determinada através da inclinação de uma reta, ou de seu coeficiente angular.

O conceito de Ángulo: sua história e idéias associadas

Não há registros confiáveis sobre o desenvolvimento do "conceito de ângulo", entretanto, é possível fazer um ensaio a respeito das idéias primitivas associadas à noção de ângulo.

O homem primitivo, que vagava à procura de alimento, se deu conta de que certos caminhos pelas montanhas causavam mais fadiga do que outros; assim a idéia de inclinação deve ter sido uma das primeiras a ser intuídas. Caminhos ótimos acompanhando as curvas de nível ainda hoje são utilizados na moderna engenharia de construção de estradas. Não é necessário discorrer sobre o fato de que há uma inclinação limite nas rampas, ruas e estradas.

Outra idéia bem antiga é a do ângulo agudo. Sabemos isto analisando como são as pontas das flechas de povos da idade da pedra, passando pela idade dos metais e chegando até nossos dias. A ponta aguda dá mais direção, pela aerodinâmica, e penetra com mais facilidade no animal a ser caçado.

As primeiras idéias sistematizadas a respeito de ângulos são bem mais recentes e são encontradas nos gregos, a partir de Tales (séc. VI a.C.) e em Euclides (séc. III a.C.).

Para Euclides "Ângulo plano é a inclinação de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana. Quando as linhas são retas, o ângulo é denominado de retilíneo". Podemos observar que Euclides está considerando duas classes de ângulos, os retilíneos e os curvilíneos.

Idéias associadas a Ángulos

O conceito de ângulo está associado a uma diversidade de idéias distintas, porém solidárias, como inclinação, rotação, região, abertura, orientação, direção, entre outras.

As práticas curriculares das últimas décadas privilegiaram um ensino centrado em definições, uma classificação restrita e algumas fórmulas seguidas de exercícios modelo e exercícios de aplicação. Tal abordagem esconde a riqueza do conceito, sua complexidade e a engenhosidade de seus usos.

Uma definição clássica como, por exemplo, "ângulo é a reunião de duas semi-retas, não colineares, de mesma origem", que se encontra em muitos livros, não dá conta da idéia de ângulo como região. Uma definição mais apropriada para conter esta idéia seria "ângulo é a região comum de dois semiplanos que se interceptam". Alguns autores cercam este problema, fazendo distinção entre ângulo e região angular.

Ex. " Ângulo é a figura formada por duas semi-retas com origem comum; pode ser formada pela rotação que leva uma semi-reta sobre a outra. A medida desta rotação dá a grandeza do ângulo". (Herder Lexikon)

CONGRUÊNCIA E COMPARAÇÃO DE ÁNGULOS

A congruência é um conceito geométrico, e em geometria, duas figuras são congruentes se elas possuem a mesma forma e tamanho. Mais formalmente, dois conjuntos de pontos geométricos são ditos “congruentes” se, e somente se, um pode ser transformado no outro por isometria, ou seja, uma combinação de translações, rotações e reflexões. O conceito associado de similaridade admite uma mudança no tamanho entre duas figuras similares.

Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Nos paralelogramos, os lados paralelos são congruentes, e os dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Num triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são congruentes; nos triângulos isósceles, apenas os lados iguais e os ângulos da base são congruentes.

Comparando dois ângulos para saber se são iguais ou diferentes. Marcamos e recortamos o primeiro ângulo  e o superpomos ao segundo , fazendo coincidir o vértice e um lado. Se os outros lados não coincidirem, os ângulos são diferentes.

CLASSIFICAÇÃO DE ÁNGULOS

Os ángulos são classificados de acordo com suas medidas:

AGUDO: ángulo com medida menor que 90º.

RETO: ángulo com medida igual a 90º.

OBTUSO: ángulo com medida maior que 90º.

RASO: ángulo com medida igual a 180º.

AGUDO RETO OBTUSO RASO

DEFINIÇÕES E ELEMENTOS DOS POLÍGONOS

São figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a figura é nomeada.Os polígonos são classificados:

Em termos dos ángulos

Em termos das medidas de seus ângulos, um polígono pode ser:

Convexo: se possui todos os seus ângulos internos convexos — isto é, entre 0° e 180° ou ...

Côncavo: se possui um ângulo interno côncavo — superior a 180°.

Quanto ao número de lados

Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n≥3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela