O modelo de Poisson

Modelo de Poisson

Partindo do pressuposto de que as observações são independentes, a distribuição conjunta das quatro contagens é um produto de distribuições de Poisson

tomando log obtemos o log da verossimilhança usual de Poisson.

Em termos da estrutura sistemática do modelo, podemos considerar três modelos log-lineares para as contagens esperadas:

• modelo nulo;

• modelo aditivo;

• modelo saturado.

No modelo nulo supomos que 4 tipos de pacientes chegam ao laboratório na mesma proporção. Já no modelo aditivo seria supor que a taxa de chegada depende do tratamento e da presença ou ausência de efeitos sobre a doença, mas não no combinação dos dois. Por fim, no modelo saturado diríamos que cada grupo tem seu próprio ritmo ou o número esperado de chegadas.

Se pudermos escrever os valores ajustados, descobrimos que eles são exatamente os mesmos que no modelo multinomial. Esse resultado, evidentemente, não é uma coincidência. Testando a hipótese de independência no modelo multinomial é exatamente equivalente a testar a qualidade do ajuste do modelo de Poisson aditivo. A prova rigorosa desse resultado ver (Fienberg,2006), mas podemos fornecer informações suficientes para mostrar que o resultado é intuitivamente razoável e de entender quando pode ser usado.

Primeiro, observamos que, se as quatro contagens independentes têm distribuição de Poisson, sua soma tem distribuição Poisson com média igual à soma das médias. Simbólicamente, se então o total tem distribuição de Poisson com média . Além disso, a distribuição condicional das quatro contagens dado o seu total é multinomial com probabilidades

no qual usamos para a observação total Este resultado decorre diretamente do fato de que a distribuição condicional das contagens dados o seu total pode ser obtida como a relação entre a distribuição conjunta da contagem e do total (que é o mesmo que a distribuição conjunta das contagens, o que implica a total) para a distribuição marginal do total. Dividindo a distribuição conjunta dada na Equação (7.2) por marginais, que é Poisson com média que nos leva diretamente à distribuição multinomial.

Em segundo lugar, notamos que a estrutura sistemática dos dois modelos é a mesma.

No modelo de independência, a probabilidade conjunta é o produto das marginais

Assim tomando o obtemos

que ainda pode ser escrita em termos das frequências esperadas , como

Aplicando o temos

Somando em i para a equação 8.2, temos

Agora somamos em j para a equação 8.2

que