PLANO TANGENCIAL, VETOR GRADIENTE E SUA APLICAÇÃO EM PERMEABILIDADE DO SOLO

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

UNIDADE PEDRA BRANCA

ENGENHARIA CIVIL

CAROLINE GOULART ALVES

GABRIELE DAMASO DE MATOS

GUILLERMO ESPEZIM

PLANO TANGENCIAL, VETOR GRADIENTE E SUA APLICAÇÃO EM PERMEABILIDADE DO SOLO

PALHOÇA

2012

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

UNIDADE PEDRA BRANCA

ENGENHARIA CIVIL

CAROLINE GOULART ALVES

GABRIELE DAMASO DE MATOS

GUILLERMO ESPEZIM

PLANO TANGENCIAL, VETOR GRADIENTE E SUA APLICAÇÃO EM PERMEABILIDADE DO SOLO

Trabalho apresentado à disciplina de

Calculo III,do curso de Engenharia Civil,

da Unisul, ministrado pela Professora

Kelen Silva, como requisito parcial

para aprovação na mesma.

PALHOÇA

2012

Sumário

INTRODUÇÃO - 4 -

1. Vetor gradiente - 5 -

2. Plano tangencial - 5 -

3. Permeabilidade e percolação do Solo - 6 -

3.1 Lei de Darcy - 6 -

4. Relação do estudo com a área da engenharia civil - 7 -

CONCLUSÃO - 8 -

BIBLIOGRAFIA - 9 -

INTRODUÇÃO

O objetivo deste estudo foi apresentar de forma sucinta as definições de plano tangencial, vetor gradiente e apresentar uma aplicação dentro da área de engenharia civil para tal. A área de aplicação foi permeabilidade de solo.

Vetor gradiente

Para várias propriedades ou grandezas físicas é possível verificar uma distribuição espacial onde sua intensidade varia. Por exemplo, a temperatura ao redor de uma fogueira, varia conforme a distância que o observador esta em relação a mesma.

Na matemática existe uma ferramenta chamada gradiente, capaz de descrever quantitativamente as variações espaciais das grandezas e propriedades. É uma ferramenta frequentemente utilizada em diversas áreas da física por ser muito útil para explicar, fenômenos básicos acerca de grandezas físicas atmosféricas.

Em uma função qualquer f(x, y, z), onde cada uma das variáveis pode representar um versor que constitui a base de um espaço vetorial, necessária para representar este espaço. Esta função poderia ser a descrição da distribuição espacial de alguma grandeza e sobre ela existe um operador linear que aplicado à mesma, produz um vetor que sempre aponta ao seu ponto máximo. Este vetor é descrito pela derivada da função em relação a cada versor de sua base do espaço vetorial.

Isso significa que o gradiente, é a taxa de variação de uma grandeza com o espaço e produz um vetor que sempre aponta para o ponto onde a propriedade ou grandeza é mais intensa. O vetor gradiente é representado pelo símbolo nabla, nada mais do que um delta invertido.

Definição:

Se f é uma função de três variáveis x, y, z o gradiente de f é a função vetorial f definida por:

f (x,y,z)= f,f,f  (f,f,f)

x y z x y z

Plano tangencial

Definição: Se P0 (X0, Y0, Z0) for um ponto de uma superfície S, e se as retas tangentes a todas as curvas sobre a superfície que passam por P0 estão situadas em um plano comum, tal plano é denominado plano tangente à superfície em P0 , e a reta que passa por P0 que é perpendicular ao plano tangente é denominada de reta normal à superfície em P0.

Então seja P0 (X0, Y0, Z0) um ponto qualquer sobre a superfície

z = f (x,y) . Se f(x,y) for diferenciável em (X0, Y0), então a superfície tem um

plano tangente em P0 e este plano tem a equação:

fx (X0,Y0) (X-X0) + fy (X0,Y0) (Y-Y0) – (Z-Z0) = 0

Permeabilidade e percolação do Solo

Os solos têm, com frequência, a maior parte de seus poros ocupados por água, que, quando submetida a uma diferença de potencial hidráulico, flui através dos poros interconectados, fissuras ou outros caminhos preferenciais.

A facilidade com que a água flui através de um meio poroso, como o solo, constitui uma importante propriedade conhecida como permeabilidade. A permeabilidade de um solo é quantificada pelo coeficiente permeabilidade.

Um