Pendulo Simples

Pêndulo Simples

Um corpo suspenso por um fio, afastado da posição de equilíbrio sobre a linha

vertical que passa pelo ponto de suspensão, e abandonado, oscila. O corpo e o fio

formam o objeto que chamamos de pêndulo. Vamos discutir um modelo chamado de

pêndulo simples, construído para descrever um pêndulo. Esse modelo é apropriado

para descrever um pêndulo que oscila com amplitude pequena, isto é, com amplitude

muito menor do que o comprimento do fio.

O pêndulo simples consiste de uma partícula de massa m suspensa por um fio

sem massa e inextensível de comprimento L (Fig.14). Afastada da posição de

equilíbrio, sobre a linha vertical que passa pelo ponto de suspensão Q, e abandonada,

a partícula oscila com amplitude A. Se a amplitude é pequena (A << L), a partícula

descreve um MHS num referencial fixo no ponto de suspensão.

As forças importantes que atuam sobre a partícula são: a força peso, P,

exercida pela Terra, e a tensão, T, exercida pelo fio. Por conveniência, podemos

substituir a força peso pelas duas componentes ortogonais, P1, paralela à direção

definida pelo fio, e P2, perpendicular à essa direção. Em módulo, temos:

P = mgcos θ 1

e

P = mg sen θ 2

Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que

forma o pêndulo simples são P1, P2 e T.

Como a partícula descreve um arco de circunferência, a resultante das forças

ao longo da direção definida pelo fio atua como força centrípeta e, por isso, deve ter o

mesmo sentido que a tensão T.

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Por outro lado, na direção perpendicular àquela definida pelo fio, isto é, ao

longo da trajetória da partícula, atua apenas a força P2. Estritamente falando, ao longo

desta direção atua também a força de arraste, exercida pelo ar. Contudo, como o

módulo dessa força é muito menor do que o módulo da força P2, ela pode ser

desprezada (e nem foi representada na Fig.14).

Como já dissemos acima, a partícula de massa m descreve um arco de

circunferência. Porém, se a amplitude do movimento é muito menor do que o

comprimento do fio, isto é, se A << L, qualquer que seja o ângulo θ, ele sempre é

pequeno (Fig.15).

Nesse caso, o arco de circunferência que forma a trajetória da partícula pode

ser aproximado por um segmento de reta horizontal, sobre o qual fixamos o eixo X,

com origem O onde a vertical tirada do ponto de suspensão Q corta esse eixo. Então,

dentro dessa aproximação, a posição da partícula e os pontos O e Q formam um

triângulo retângulo (com ângulo reto em O) e podemos escrever:

L

x

senθ =

O módulo e o sentido de P2, que é a força resultante que atua sobre a partícula

ao longo da sua trajetória, podem ser expressos por:

x

L

mg

P (x) 2 









= −

O sinal negativo aparece porque a força P2 tem o mesmo sentido daquele

escolhido como positivo para o eixo X quando a elongação é negativa e tem sentido

contrário quanto a elongação é positiva.

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

A expressão acima mostra que, se é pequena a amplitude do movimento da

partícula, podemos considerar que ele acontece sobre uma linha reta (o eixo X), sob o

efeito de uma força cujo módulo é proporcional à distância da partícula a um ponto fixo

sobre esta linha reta (o ponto O) e dirigida para esse ponto. Em outras palavras, se a

amplitude é pequena, o movimento da partícula que faz parte do pêndulo simples é um

MHS.

Sabemos que o módulo e o sentido da força que atua sobre uma partícula em

MHS são dados, genericamente, por:

F(x)= −Cx

com

2 C=mω

e sabemos também que o período e a freqüência do movimento são dados,

respectivamente, por:

ω

π

= 2

T

e

π

ω

=

2

f

Portanto, comparando a expressão de P2(x) com a expressão de F(x),

podemos escrever:

L

mg