Probabilidade Em Jogos

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

PROBABILIDADE APLICADA

Probabilidade em jogos

LUIZ CLAUDIO DO CARMO SILVA

2012.02.32117-8

RIO DE JANEIRO

JUNHO DE 2013

SUMÁRIO

Página

1. INTRODUÇÃO 03

2. ORIGEM DA PROBABILIDADE EM JOGOS 03

3. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 03

3.1 DEFINIÇÃO 04

3.1.2 EXEMPLO 04

4. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 05

4.1 DEFINIÇÃO 05

4.1.2 EXEMPLO 05

5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 06

5.1 DEFINIÇÃO 06

5.1.2 EXEMPLO 07

6. REFERÊNCIAS 07

1. INTRODUÇÃO

Os jogos de azar são, provavelmente, tão velhos quanto a Humanidade: te-mos provas arqueológicas da prática do jogo do osso há 40 000 anos. Ademais, jo-gava-se e joga-se praticamente pelo mundo inteiro, sendo raras as sociedades que não o faziam (polinésios, siberianos, e algumas outras).

Historicamente, os jogos mais praticados foram o do osso (conhecido pelo mundo inteiro) e o de dados (surgiu na Índia e Mesopotâmia c. 3 000 AC, como evo-lução do jogo do osso, e daí se difundiu para o mundo grego, romano e cristão).

É também importante lembrar que antigamente jogava-se em apostas bem como para prever o futuro, decidir disputas, dividir heranças, etc.

2. ORIGEM DA PROBABILIDADE EM JOGOS

O surgimento da probabilidade está fundamentado em relatos históricos rela-cionados à disseminação dos jogos de azar na Idade Média, o qual era praticado envolvendo apostas. Os italianos Gerônimo Cardano (1501 – 1576), Galileu Galilei (1564 – 1642), Luca Pacioli (1445 – 1517) e Niccolo Tartaglia (1499 – 1557) foram os matemáticos responsáveis pelo desenvolvimento das primeiras teorias envolvendo jogos e apostas. Eles deram início aos estudos envolvendo o jogo de dados, tra-balhando as ideias do conjunto universo e dos eventos pertencentes a este conjunto.

Pascal e Fermat foram os responsáveis por estabelecer as bases da teoria do cálculo probabilístico e inúmeras hipóteses foram levantadas envolvendo possíveis resultados, marcando o início da teoria das probabilidades como ciência. A aborda-gem de Bernoulli envolveu os grandes números, surgindo as combinações, permu-tações e classificação binomial. A contribuição de Laplace foi através da regra de sucessão e Gauss estabeleceu o método dos mínimos quadrados e a lei das distri-buições.

3. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Em muitas situações nos deparamos com o valor de n grande (n→ ) e p é pequeno (p→0), no cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificulda-des, pois como podemos analisar para n muito grande e p pequeno, fica difícil ou até mesmo impossível calcularmos essa probabilidade.

Observem que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

Se multiplicarmos e dividirmos por teremos:

Se tomarmos o limite de e tomarmos e, portanto , obtemos a seguinte expressão>

, onde k=0,1,2,..., e .

Tal expressão é devida a Poisson e é muito utilizada para calcular probabili-dades de ocorrências de defeitos "raros" em sistemas e componentes.

3.1 DEFINIÇÃO

Uma variável X segue o modelo de Poisson de parâmetro λ, λ>0, se sua fun-ção de probabilidade for dada por

Usamos a notação X Po( ). O parâmetro indica a taxa de ocorrência por unidade medida.

3.1.2 EXEMPLO

Suponha que numa aplicação de tinta em um automóvel e feita de forma me-cânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro . Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos pelo menos 1 defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos?

A probabilidade de encontrarmos pelo menos um defeito é dada por:

Já a probabilidade de encontrarmos entre 2 e 4 erros é de

4. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições:

• Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denomi-nada falha (F).

• Os ensaios são independentes.

• A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada en-saio. A probabilidade de falha será denotada por 1-p.

Para um experimento que consiste na realização de n ensaios de Bernoulli, o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).

A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas nos n-k ensaios seguintes é

Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e n-k fa-lhas. O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com