Produto Cartesiano

Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioDocument Transcript

• 1. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 1 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Produto CartesianoPar ordenado: conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x, y) onde x e y são númerosreais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6, -3) : abscissas = 6 e ordenada= -3.Plano Cartesiano: também conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceitointroduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o parordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, numponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixodas ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a suaordenada, ou seja, O (0, 0).Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temosentão o seguinte quadro resumo: QUADRANTE ABCISSA ORDENADA 1º quadrante + + 2º quadrante - + 3º quadrante - - 4º quadrante + -Obs:1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz 3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetrizdo primeiro quadrante. do segundo quadrante.Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B oconjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence aoconjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B:A X B= {(x, y) | x ∈A e y ∈ B} Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos doconjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos A= {5,6} e B= {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano A X B;a) representação ou forma tabular:A X B = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}Observe que os primeiros elementos dos pares ordenados pertencem ao conjunto A e os segundos pertencem aoconjunto B. Essa forma de representação é denominada forma tabular.b) representação ou forma gráfica:

• 2. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 2 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioObserve que, para representar graficamente o produto cartesiano A X B, os elementos do conjunto A são dispostosno eixo das abscissas(horizontal) e os elementos do conjunto B, no eixo das ordenadas(vertical) estando, cada parordenado do produto, associado a um único ponto do gráfico.Atividade de Sistematização1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M nasrepresentações tabular e gráfica.2. Considerando os conjuntos A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 1} e B = {3,4}, determinar A X B nas representações ouformas tabular e gráfica.3. Dados os conjuntos E = {x ∈ ℕ | x ≤ 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos produtos:a. EXFb. FXEc. FXGd. EXG4. Sendo C = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 4} e D = {y ∈ ℤ | -1 ≤ y < 3}, determine a forma gráfica dos produtos:a. C X Db. D X C FunçõesDefiniçãoDados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função (ouaplicação) de A em B, representada porf : A → B ou y = f(x), a qualquer relação binária que associa acada elemento de A, um único elemento de B.Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função,exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B,podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado anenhum elemento pertencente ao conjunto A.Nota: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x atravésda função f.Exemplos:f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f;f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f:f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou umalei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .

• 3. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 3 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioQuando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f)(contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemosque a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variávelreal como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado dedomínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, porexemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja o conjunto dos reaisdiferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que sey = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.Nota: o símbolo ⊂ significa “contido em”.Dada uma função f : A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico da função f.Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio dafunção.b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagemda função.c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função,intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.Veja a figura ao lado, relativa aos itens 1, 2 e 3 acima:Tipos de funçõesFunção sobrejetora ou sobrejetiva Função bijetora ou bijetivaÉ aquela cujo conjunto imagem é igual ao Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmocontradomínio. tempo, injetora e sobrejetora.Exemplo: Exemplo: Função injetora ou injetiva Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Exemplo:Atividade de sistematização:1) Considere três funções f, g e h, tais que:A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A função g atribui a cada país, a sua capitalA função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

• 4. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 4 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioPodemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:a) f, g e hb) f e hc) g e hd) apenas he) nenhuma delas2) (UNIFESP-02) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondemvalores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecemabaixo,