Produto Notavel

Produtos notáveis – cubo da soma e da diferença de dois termos

1. Introdução

Qual é o produto notável que representa o volume do cubo formado em relação aos seis prismas e dois cubos que formam a figura?

2. Cubo da soma e da diferença de dois termos

produto [do latim productu]: resultado de uma multiplicação.

notável [do latim notabile]: digno de nota.

Observe o cubo:

Observe que o cubo da soma de x com y é diferente da soma dos cubos de x com y:

cubo da soma: (x + y)3

soma dos cubos: x3 + y3

Assim: (x + y)3 ≠ x3 + y3

Quanto é o cubo da soma de x com y?

Podemos formar o cubo acima com os sólidos:

Determinamos o volume de cada sólido efetuando o produto das três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim:

O volume total do cubo é: Vt = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2. Escrevendo o volume total do cubo formado em relação às arestas dos cubos menores, temos:

Vt = (x + y)3 = (x + y) . (x + y)2 = (x + y) . (x + y) . (x + y)

Temos que: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Substituindo x2 + 2xy + y2 em (x + y) . (x + y) e aplicando a propriedade distributiva

= x . x2 + 2x . xy + xy2 + yx2 + 2x . yy + y . y2 = x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 =

= x3 + 2x2y + 1x2y + 2xy2 + xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

O cubo da soma de x com y é o resultado de uma soma elevada ao cubo, ou seja, (x + y)3.

Assim: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3