Quantidades e movimento físico rectilíneo

Objetivo

Elaborar um memorial descritivo de cálculos, envolvendo o vôo de um satélite lançado por um veículo de sondagem (VS – 40).

Introdução

Alguns satélites são colocados em órbita com missões pacificas e integradoras, favorecendo a comunicação e a pesquisa, de forma a contribuir para a melhoria da qualidade de vida homem.

Baseando – nos no projeto SARA (Satélite de Reentrada Atmosférica) que ainda se encontra em fase inicial, iremos criar um memorial descrevendo alguns cálculos realizados nos testes dos seus subsistemas, os cálculos mostrarão resultados envolvendo grandezas físicas como: medição, velocidade média, aceleração e equação do movimento. As análises foram realizadas em orbita baixa circular, a 300 km de altitude, onde será o seu campo de operação.

Desenvolvimento

Grandezas físicas e movimento retilíneo

Realizar a conversão da altura máxima 300 km (apogeu) para a unidade pés.

Órbitas de satélite da Terra

De acordo com a primeira lei de Kepler, toda órbita é uma cônica (circulo, elipse, parábola, hipérbole) onde a Terra ocupa um dos focos. Nas duas ultimas, o satélite só passa uma vez perto da Terra. Interessam-nos as órbitas circular e elíptica. O circulo é apenas um caso particular de elipse com excentricidade e = 0, ou seja, os focos ocupam o mesmo lugar no centro do circulo.

Segunda lei de Kepler: o raio r varre áreas iguais em tempos iguais. Portanto, a velocidade do satélite é mínima no apogeu e máxima no perigeu.

Terceira lei de Kepler:( lei harmônica ) : o quadrado do período de revolução P é proporcional ao cubo do semi-eixo maior a : P² = a³ ( 4 p ² / m ) , onde m = G M e G = constante gravitacional universal = 6,673 . 10–11 Nm² / kg² , M = massa da Terra = 5,98 . 1024 kg e P = período em segundos.

Propriedades básicas da órbita elíptica (ou circular para e=0):

a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor

c = meia distancia entre focos F e F’ c = a e a² = b² + c²

e = excentricidade e = c / a = (ra - rp) / (ra + rp) p = semi lado reto p = a ( 1 - e² )

r = raio do satélite ao centro da terra R = raio da Terra = 6378 km (no equador )

r = p / ( 1 + e cos q ) q = anomalia verdadeira

rp = raio do perigeu = a ( 1 - e ) ra = raio do apogeu = a ( 1 + e )

ra + rp = 2 a a = r + r ‘ = constante

hp = rp – R = altura do satélite no perigeu ha = ra – R = altura do satélite no apogeu

Os elementos básicos que definem a órbita de um satélite são:

Época: instante de tempo de especificação dos valores dos elementos.

Inclinação orbital: ângulo entre o plano da órbita e o plano equatorial.

ARNA: ascensão reta do nó ascendente (em relação ao equinócio vernal).

Argumento do perigeu: w 0 .

Excentricidade: 0 <= e < 1.

Movimento médio: quantidade de revoluções por dia.

Anomalia média: posição do satélite na órbita ( 0° a 360°, 0° = perigeu).

Arrasto: razão de mudança do movimento médio.

Conversão de quilômetros (km) para pés

2.54 cm = 1 pol.

1 km = 100.000 cm

1 pé = 12 pol.

12 pol. * 2.54 cm = 30.48 cm = 1 pé

100.000 cm * 300 km = 30.000.000 cm

30.000.000 cm / 30.48 cm = 984.251,9685 pés.

Considerar as informações do projeto amerissagem na água (pouso). Será a 100 km da cidade de Parnaíba. Fazer a conversão da distância para milhas náuticas.

1 km = 0.5399 milhas náuticas.

100 km * 0.5399 milhas náuticas = 53.99 milhas náuticas

Considerar que a operação de resgate será coordenada a partir da cidade de Parnaíba, a 100 km do local da amerissagem. Supondo que um avião decole do aeroporto de Parnaíba, realizar a viagem em duas etapas, sendo a metade 50 km a uma velocidade de 300 km/h e a segunda metade a 400 km/h. Determinar a velocidade média em todo o trecho.

Vm1 = ∆S / ∆T

300 km/h = 50 km / ∆T

∆T = 50 km / 300 km/h = 0.16 h

Vm2 = ∆S / ∆T

400 km/h = 50 km / ∆T

∆T = 50 km / 400 km/h = 0.12 h

Vmt = ∆S / ∆T

Vmt = 100 km / 0.28

Vmt = 357, 142 km/h

Vmt = 99, 206 m/s

Considerar que um avião de patrulha marítimo P-95 “Bandeirulha”, fabricado pela EMBRAER, pode desenvolver uma velocidade média de 400 km/h. Calcular o tempo gasto por ele para chegar ao pondo de amerissagem, supondo que ele decole de Parnaíba distante 100 km do ponto de impacto.

Vm = ∆S / ∆T

400 km/h = 100 km / ∆T

∆T = 100 km / 400 km/h = 0.25 h

∆T = 900 s

Considerar também que um helicóptero de apoio será utilizado na missão para monitorar o resgate. Esse helicóptero UH-1H-Iroquois desenvolve uma velocidade de 200 km/h. Supondo que ele tenha partido da cidade de Parnaíba, calcular a diferença de tempo gasto pelo avião e pelo helicóptero.

Vm = ∆S / ∆T

200 km/h = 100 km / ∆T

∆T = 100 km / 200 km/h = 0.5 h

∆T = 1800 s

Difer.t = Th - Ta

Difer.t = 1800 s – 900 s

Difer.t = 900 s

Difer.t = Diferença de tempo

Th = Tempo gasto pelo helicóptero

Ta = Tempo gasto pelo avião

Considerar que no momento da amerissagem, o satélite envia um sinal elétrico, que é captado por sensores localizados em três pontos mostrados na tabela. Considerando esse sinal viajando a velocidade da luz, determinar o tempo gasto para ser captado nas localidades mostradas na tabela. (Dado: velocidade da luz: 300.000 km/s)

Alcântara – ponto de impacto 338 km

Parnaíba – ponto de impacto 100 km

São José dos Campos – ponto de impacto 3000 km

Tempo gasto do ponto de amerissagem à Alcântara.

300.000 km/s = 1.080.000.000 km/h

Vm = ∆S / ∆T

1.080.000.000 km/h = 338 km / ∆T

∆T = 338 km / 1.080.000.000 km/h = 3,1 * 10-7 h

∆T = 1,1 * 10-3 s

Tempo gasto do ponto de amerissagem à Parnaíba.

300.000 km/s = 1.080.000.000 km/h

Vm = ∆S / ∆T

1.080.000.000 km/h = 100 km / ∆T

∆T = 100 km / 1.080.000.000 km/h = 9,2 * 10-8 h

∆T = 3,3 * 10-4 s

Tempo gasto do ponto de amerissagem à São José dos Campos.

300.000 km/s = 1.080.000.000 km/h

Vm = ∆S / ∆T

1.080.000.000 km/h = 3.000 km / ∆T

∆T = 3.000 km / 1.080.000.000 km/h = 2,8 * 10-6 h

∆T =0.01 s

Calcular:

A velocidade final adquirida pelo Sara suborbital, que atingirá uma velocidade média de Mach 9, ou seja, nove vezes a velocidade do som, partindo do repouso até a sua altura máxima de 300 km. Considerar seu movimento um MUV.

Dado: velocidade do som = Mach 1 = 1.225 km/h.

V0 = 1.225 km/h * 9

V0 = 11.025 km/h ou 3.062,5 m/s

V2 = V02 + 2*a *( Xf – Xi )

V2 = 3.062,52 + 2* (-9,8) * 300.000

V2 = 9.378.906,25 – 5.880.000

V = √ 3.498.906,25

V = 1.870,5 m/s

A aceleração adquirida pelo Sara suborbiltal na trajetória de reentrada na troposfera, onde o satélite percorre 288 km, aumentando sua velocidade da máxima atingida na subida calculada no passo anterior para Mach 25, ou vinte e cinco vezes a velocidade do som. Comparar essa aceleração com a aceleração da gravidade cujo valor é de 9,8 m/s2.

V0 = 6.733.800 km/h ou 1.870,5 m/s

V = 1.225 km/h *25

V = 30.625 km/h ou 8.506,9 m/s

V2 = V02 + 2*a *( Xf – Xi )

8.506,92 = 1.870,52 + 2*a*288.000

8.506,92 = 1.870,52 + 2*a*288.000

72.367.347,6 = 3.496.900 + 2*a*288.000

72.367.347,6 – 3.496.900 = 2*288.000*a

68.870.447,6 / 576.000 = a

a = 119,6 m/s2

Calcular o tempo gasto nesse trajeto de reentrada, adotando os dados dos passos anteriores.

V = V0 + a * t

8.506,9 = 1.870,5 + 119,6*t

8.506,9 – 1.870.5 = 119,6*t

6636,4 / 119,6 = t

t = 55,48 s

Movimento Retilíneo

Considerar que dois soldados da equipe de resgate, ao chegar ao local da queda do satélite e ao verificar sua localização saltam ao lado do objeto de uma altura de 8m. Considerar que o helicóptero está com velocidade vertical e horizontal nula em relação ao nível da água.

Adotando g =9,8 m/s2.

Determinar:

O tempo de queda de cada soldado.

H = h0 + v0*t + 1/2 *a*t2

H = -8 + 1/2 *9,8*t2

8 = 4,9* t2

t2 = 8/4,9

t = √1,63

t = 1,28 s

A velocidade de cada soldado ao atingir a superfície da água, utilizando para isso os dados do passo anterior.

V = v0 + a*t

V = 9,8 * 1,28

V = 12,54 m/s

Qual seria a altura máxima alcançada pelo SARA SUBORBITAL, considerando que o mesmo foi lançado com uma velocidade inicial de Mach 9 livre da resistência do ar e submetido somente à aceleração da gravidade?

Mach 1 = 1.225 km/h

Mach 9 = 11.025 km/h

Mach 9 = 3.062,5 m/s

H = 〖V0〗^2/2g

H = 〖3.062,5〗^2/9,8g

H = 478.515,63 m ou 478,51 km

Calcular o tempo gasto para o SARA SUBORBITAL atingir a altura máxima.

t = V0/g

t = 3.062,5/9,8

t = 312,5 s

Movimento em Duas e Três Dimensões.

Para efetuar o resgate do Satélite, ao chegar ao local, o avião patrulha lança horizontalmente uma bóia sinalizadora. Considerar que o avião está voando a uma velocidade constante de 400 km/h, a uma altitude de 1000 pés acima da superfície da água, calcular o tempo de queda da bóia, considerando para a situação g = 9,8 m/s2 e o movimento executado livre da resistência do ar.

1 pé = 0,0003048 km

1000 pés = 0.3 km = 300 m

S = 〖g*t〗^2/2

300 = 〖9,8*t〗^2/2

t2 = (300*2)/9,8

t = √61,22

t = 7,82 s

O alcance horizontal da bóia.

400 km/h = 111,11 m/s

X = v0 * t

X = 111,11 * 7,82

X = 868,89 m

As componentes de velocidade da bóia ao chegar ao solo.

vx = v0

vx = 111,11 m/s

vy = g*t

vy = 9,8*7,82

vy = 76,64 m/s

A velocidade resultante da bóia ao chegar à superfície da água.

□(→┬V ) = →┬v_x + →┬v_y

→┬V = √(〖111,11〗^2+ 〖76,64〗^2 )

→┬V = √(12.345,43+ 5.873,69)

→┬V = 134,98 m / s

Movimento em Duas e Três Dimensões.

Verificar que antes do lançamento real do SARA SUBORBITAL, alguns testes e simulações deverão ser feitos. Para uma situação ideal livre da resistência do ar, vamos considerar a trajetória parabólica como num lançamento oblíquo e a aceleração constante igual a g.

Adotar uma inclinação na plataforma de lançamento de 30º em relação à horizontal e o alcance máximo de 338 km. Determinar a velocidade inicial de lançamento.

338 km = 338.000 m

R= (v_0^2*〖 sin〗⁡〖2*θ〗)/(2*g)

338.000 = (v_0^2*〖 sin〗⁡〖2*θ〗)/19,6

v_0^2 = (338.000*19,6)/(0,866)

v0 = √7.649.884,5

v0 = 2.765,8 m/s ou 9.995,03 km/h

Determinar as componentes da velocidade vetorial de impacto na água para a situação analisada no passo anterior.

v0y = v0 * 〖 sin〗⁡θ

v0y = 2.765,8 * 0.5

v0y = 1.382,9 m/s ou 4.978,44 km/h

v0x = v0 * 〖 cos〗⁡θ

v0x = 2.765,8 * 0,866

v0x = 2.395,18 m/s ou 8.622.66 km/h