Raiz Quadrada

Em matemática, uma raiz quadrada de um número x é um número não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala x.1 A raiz quadrada positiva de um número real não negativo x é simbolizada por \scriptstyle \sqrt{x}. Por exemplo: \scriptstyle \sqrt{16} = 4 porque 4 × 4 = 16, e \scriptstyle \sqrt{2} = 1.41421 \ldots. Por definição, a raíz quadrada de um número nunca terá um valor negativo, portanto, por exemplo, -3 ser a raíz quadrada de 9. As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raíz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de recta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicial2 .

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:

\scriptstyle \sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}

\scriptstyle \sqrt{x}-\sqrt{y} = \sqrt{x+y-2\sqrt{xy}} sempre que x ≥ y

\scriptstyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}

\scriptstyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}

\scriptstyle \sqrt{x^2} = \left|x\right| para todo o número real x (ver valor absoluto)

\scriptstyle \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; \scriptstyle \sqrt{x} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, \scriptstyle \sqrt{2} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois).

Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = \scriptstyle \sqrt{a}. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = \scriptstyle \sqrt{a}, ou, de outra forma, que \scriptstyle x = \pm \sqrt{a}.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

\scriptstyle \sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função \scriptstyle f(x) = \sqrt{x} tem o seguinte gráfico: