Relatório Sobre a Máquina de Atwood

Atividade experimental 1 – Máquina de Atwood

OBJETIVO

        Nesta atividade experimental será utilizado o formalismo da mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana para determinar a relação entre força, massa e aceleração utilizando a máquina de Atwood.

INTRODUÇÃO TEÓRICA:

        A Máquina de Atwood foi inventada em 1784 por George Atwood. É usada para demonstrações em laboratório das leis da dinâmica e consiste basicamente em dois corpos de massas m1 e m2 presos por uma corda que passa sobre uma roldana. Neste experimento são realizados vários cálculos através de formalismos da mecânica clássica para determinar as forças atuantes no sistema e a aceleração. Analisando-se as forças é possível encontrar uma equação para a aceleração. Se for considerada uma corda sem massa e inelástica, e uma polia ideal sem massa, estando a corda tensionada é equivalente a força peso em m1 estar sendo aplicada também em m2, e a força peso em m2 estar sendo aplicada também em m1, disso, usando a Segunda Lei de Newton, pode-se chegar a uma equação para a aceleração.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

        Foi utilizado para a realização do experimento 1 tripé com manípulo, uma haste de metal que foi fixada no tripé, uma roldana simples móvel que foi fixada na haste de metal e um carretel de linha tamanho [pic 1]. Do carretel foi recortado um pedaço de fio tamanho [pic 2], que foi suspenso na roldana de raio R. Nas extremidades no fio [pic 3] foram suspensas massas de pesagens diferentes, onde m1≠m2 e m2>m1.

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Tarefa 1: Obtenha a expressão para a aceleração da máquina de Atwood por meio a) da mecânica newtoniana; b) da mecânica Lagrangiana e c) da mecânica hamiltoniana.

1. Mecânica Newtoniana

        Sabendo que m2>m1, observemos a imagem 1:

Imagem 1: Máquina de Atwood

[pic 4]

Fonte: Wikipédia. Imagem modificada.

        Consideremos que a massa m2 sendo maior, ela irá descer, logo, o peso é maior do que a tração no fio, sendo assim teremos para m2 a seguinte relação:

[pic 5] Equação 1.

        Do mesmo modo m1 sobe, logo o seu peso é menor do que a tração no fio, assim teremos para m1 a seguinte relação:

[pic 6]Equação 2.

Substituindo Eq. 1 em Eq. 2, temos:

[pic 7]

[pic 8]

1. Mecânica Lagrangiana

A Mecânica Lagrangiana considera as Energias Potencial e Cinéticas dos corpos, então utilizaremos:

[pic 9]

Para as variações ao longo do fio consideremos que [pic 10], e que o comprimento [pic 11], logo o comprimento em B será, [pic 12], onde [pic 13], assim:

[pic 14]

Considerando a derivada da Tensão:

[pic 15]

Derivando [pic 16], temos:

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Utilizando a relação de igualdade [pic 22], logo [pic 23], assim faz-se: [pic 24], substituindo na relação [pic 25], temos:

[pic 26], isolando [pic 27] tem-se a aceleração [pic 28].

1. Mecânica Hamiltoniana

        Na Mecânica Hamiltoniana é escrita a equação considerando as coordenadas de posição e momento, eliminando a velocidade.

A expressão da Hamiltoniana é dada por:

[pic 29], onde o termo constante [pic 30] é eliminado.[pic 31]

Calculando o momento [pic 32], substituímos na equação.

[pic 33]

Fazendo [pic 34], que é uma relação de consistência com a expressão do momento conjugado à coordenada x.

Substituindo:

[pic 35]

Calculando as equações de Hamilton

[pic 36]

[pic 37]

Se [pic 38] então [pic 39]que vale [pic 40] que é a equação da aceleração procurada.

Tarefa 2: Aumento da massa total e diferença de massa crescente.

        

        Durante a realização do experimento foram adicionadas massas de cada lado da máquina de Atwood de modo proporcional para registrar os tempos de queda de cada conjunto de massas. Os valores obtidos aparecem descritos na tabela 1.

Tabela 1: Dados adquiridos no procedimento

m1	m2	ac	t	am	%erro
70 g	90 g	1,225	1,17	1,461	19,26
90 g	110 g	0,98	1,34	1,113	13,57
110 g	130 g	0,8166	1,53	0,854	4,93
130 g	150 g	0,7	1,7	0,692	1,42
150 g	170 g	0,6125	1,64	0,743	21,30
130 g	190 g	1,83	0,876	2,606	42,40
110 g	210 g	3,06	0,668	4,482	46,47

        A altura de deslocamento das massas foi de 1 metro. As outras medidas de massas para m1 = 90g; m2 = 230g e m1 = 70g; m2 = 250g, não foram realizadas pelo fato de que a aceleração aumentava na mesma proporção da escala de diferença das massas, o que poderia causar algum estrago no laboratório devido ao impacto das massas na mesa.