Reveja o histórico do todo

Passo 01: Levantamento sobre a história do surgimento das integrais.

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a ideia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As ideias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y, 0, 1, 8, 27, 64,125 e 216, com diferenças y: 1, 7, 19, 37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0) + (8-1) + (27-8) +... (216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento “infinitesimal”.

Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa anti-derivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 02: Leiam os desafios propostos:

Desafio A: Resolução da integral indefinida de ?

F(a) =

F(a) =

F(a) =

Resposta correta para o desafio A é a letra D, F(a) = .

Desafio B: Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés são:

Resolução:

1000dq + 50d*dq=

C(q) =1000q + 50q22=

C(q) =1000q + 25q2 + c=

C(q) =1000 + 25q2 +10000

Resposta correta para o desafio B é a letra A.

Desafio C: No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1*e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Resolução:

C(t) =16,1*e0,07t = C(t) =16,1 * e0,07t =

C(2) = 16,1 * e0,07 * 2 =

C(4) = 16,1 * e0,07 * 4 =

C(2) = 18,52 bilhões =

C(4) = 21,30 bilhões =

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

Resposta correta para o desafio C é a letra C.

Desafio D: A área sob a curva de x = -3 a x = 2 é dada por:

Resolução:

w =

dw = dx * 2 –x * dx

dw=1*2 *dx

2dw = dx

=

Res.:

Resposta correta para o desafio D é a letra A.

Passo 03: Justificando as respostas corretas através dos cálculos resolvidos no passo 02 para os desafios propostos:

Desafio A: A resposta que obtemos nos cálculos executados no passo anterior para esse desafio foi a alternativa (B) que nos direcionou a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida aprendido em aula, no desafio A do passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, com isso conseguimos chegar à resposta exata.

Desafio B: A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi á alternativa (A) que nos direcionou a associação ao número 0, para o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta estudada na aula de Calculo II e também um pouco na aula de Engenharia Econômica onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará