Sequência

1) Sequências:

Definição:

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. A imagem de uma sequência será considerado o conjunto dos números reais.



A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

   

a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)

 

Notações:

{an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}

an é o enésimo termo da sequência.

  

Exemplo 1: 

Exemplo 2: 

Exemplo 3: 



2) Convergência e divergência de sequências:

Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a sequência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:



Uma sequência que não é convergente é chamada de divergente e seu limite é:

Exemplos:

a) A sequência (n)n∈N = (1, 2, 3, . . ., n, . . .), claramente, diverge. Pois:

 não existe.

b) A sequência  converge a zero, pois 

c) A sequência constante (k)n∈N, k ∈ R converge para k. Logo:

3) Calculando limite de sequências:



Exemplo 1) Prove que a sequência , cujo termo geral é , tem limite L=1.

Alguns Teoremas para convergência de sequências

Exemplo:



4) Sequências Monótonas

Definição: Dizemos que uma sequência (an) é monótona, ou crescente, se, para todos os naturais m, n tais que m < n implicar am ≤ an (ou a m< an). Se m < n implicar am ≥ an (ou am > an) dizemos que a sequência (an) é monótona ou decrescente.

Exemplos:

a) A sequência 1, 2, 3, ..., n, ... é crescente.

b) A sequência  é crescente.

c) A sequência 3, 3, 3, ..., 3, ... é tanto crescente quanto decrescente.

d) A sequência 1/2n é descrescente.

e) A sequência 1, -1, 1, -1, .... não é monótona.

Exercícios da parte I

1) Dado o termo genérico de ordem n das sequências, determine os quatro primeiros termos da sequência e o limite quando existir.



2) Determine o limite da sequência quando existir:

a)  b)  c)  d)  e)