SÉRIE DE MACLAURIN

Introdução

As séries de Maclaurin são um caso particular das séries de Taylor. E estas, por sua vez, têm o seu nome dado por conta de Brook Taylor, que as estudou em 1715.

As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinômios com coeficientes definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável.

As séries de Maclaurin, como dito anteriormente, é um caso particular das séries de Taylor. As séries de Taylor podem ser chamadas de séries de Maclaurin quando a somatória é feita no ponto a=0. Portanto temos:

Estas séries são usadas para aproximação da função f(x) no ponto dado. O valor de z está entre 0 e z , e assim como o polinômio de Taylor, o último termo do membro direito do polinômio corresponde ao resto. As fórmulas de Taylor e MacLaurin possibilitam o cálculo aproximado de algumas funções logarítimicas, exponenciais e trigonométricas a partir de uma função polinomial. Um exemplo típico é comprovado pelo seguinte limite fundamental do cálculo:

Para todo x com valor muito próximo de zero, a função f(x) = sen x é aproximadamente calculada pelo polinômio f (x) = x. Conforme o aumento da ordem do polinômio, é possível fazer com que a função se aproxime cada vez mais do valor correspondente a curva. Por exemplo, considere a função exponencial natural f (x)=e^× para todo x pertencente aos reais. Para determinar os valores de f(x) próximos de zero, basta determinar a reta tangente através de derivada da função no ponto.

Figura 01 – Gráfico da Função Exponencial Natural e Função Polinomial de 1ª Ordem

Como f '(x)=e^x , o coeficiente angular da reta tangente é f'(0)=e^0=1. Portanto, a equação da reta tangente é:

Conforme representado no gráfico 1, quanto mais próximo do zero, menor é o erro de aproximação entre o polinômio e a função. A função f (x)=e^x pode ser representada por um polinômio de ordem superior. O polinômio de segunda ordem pode ser obtido através da função g (x) = a(bx)cx² logo, g' (x)=b+2 cx e g’’(x)=2 c. Para encontrar os coeficientes de g(x) , basta fazer com que g(0)= f (0) , g' (0)= f (0) e g'(0) = f'(0). Portanto, f (0)= f '(0) = f ' '(0) = e^0=1, logo, a=1 , b=1e c=1/2. O polinômio de segundo ordem que representa o valor aproximado da função f(x) = ex quando x é próximo de zero é:

Outro método para determinar os polinômios de ordem superiores para a função f (x) =e^x é através da integração da equação da reta tangente:

Se for realizada mais uma integração, é possível encontrar o polinômio de 3 ª ordem que se aproxima da função f (x)=e^x quando x é próximo de zero.

Na figura 2 é apresentado o gráfico da função exponencial natural e a função polinomial do 3° grau. Quanto maior o grau da função polinomial equivalente a função exponencial, menor é o erro existente entre as funções num eterminado ponto.

Figura 02 – Gráfico da Função Exponencial Natural e Função Polinomial de 3ª Ordem

Polinômio de Taylor

Seja f uma função e n um número inteiro positivo, tal que a derivada f^(n+1)(x) exista para todo x em um intervalo I. Se a e x são números distintos em I. Então existe um número z entre a e x tal que:

A soma dos n1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominado de Polinômio de Taylor (Px (n)) de grau n de f no ponto a , ou seja:

O último termo da fórmula de Taylor é denominado de resto (Rn), ou seja:

Portanto, o Polinômio de Taylor (Px (n)) pode ser escrito como f(x)=Pn( x)+Rn(x). Se o valor de Rn (x) for próximo de zero, então uma função f(x) é aproximadamente igual ao Polinômio de Taylor (Px (n)) de grau n de f no ponto a , ou seja:

Como o ∣f (x)−Pn(x)∣=∣Rn (x) ∣, então o erro existente entre uma função f (x) e o polinômio de Taylor (Px(n)) é igual ao valor absoluto de Rn (x).

Série de Maclaurin

A fórmula de MacLaurin é um caso especial da fórmula de Taylor quando a=0, ou seja:

O valor de z está entre 0 e z , e assim como o polinômio de Taylor, o último termo do membro direito do polinômio corresponde ao resto.

Exemplos Série de Maclaurin

1. Considere a função f  x=sen x , determine a fórmula de MacLaurin para n=8.

Solução:

As próximas derivadas seguirão a a mesma sequencia:

Os coeficientes x^2 , x^4 , x^6 e x^8 são nulos pois as derivadas correspondente a cada termo quando x=0 são nulas. Então a fórmula de MacLaurin para a função f (x)=sen x é:

O gráfico abaixo corresponde funções senoidal f (x)=sen x e a sua função polinomial equivalente representada pela equação acima.

Figura 03 – Gráfico da Função Senoidal e Polinomial Equivalente

2. Dado f: R→R, f(x) = senX, descreva a série de Maclaurin para f

Solução: Primeiro vamos derivar sucessivamente a função

Agora vamos substituir os valores de x por 0

Achados esses valores, vamos substituí-los na fórmula da série de MacLaurin:

3. Encontre