Séries De Potências

Séries de Potências

Observação: Consideramos (x  a)0 = 1 mesmo quando x = a por conveniência de notação.

Exemplos:

1) ( an = 1 e a = 0 )

2) ( an = 1 e a = 1 )

3) ( e a = 0 )

4) ( an = n + 1 e a = 0 )

Numa série de potências, cada soma parcial sn da série corresponde a um polinômio de grau n., que indicaremos sn(x). No caso de uma série de potências de x temos:

s0(x) = a0

s1(x) = a0 + a1x

s2(x) = a0 + a1x + a2x2

.....

sn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ a n1 x n1 + anxn ( polinômio de grau n em x )

As somas parciais podem servir para aproximar funções como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas através de polinômios, numa vizinhança de 0 ( se for potências de x) ou de a ( se tomamos potências de a )

Por exemplo, a função exponencial pode ser escrita através da série

Mais precisamente, a série é convergente e converge para ex, para todo x . Isto pode ser visualizado graficamente. A seguir temos a representação gráfica das 4 primeiras somas parciais da série.

Observemos que, numa vizinhança de 0 as somas parciais vão se aproximando cada vez mais de f(x).

Vamos investigar sob que condições podemos escrever uma função como uma série de potências de x e em que domínio ela converge

Dada uma série de potências para cada valor atribuído a x obtemos uma série numérica correspondente que pode convergir ou divergir.

Exemplo: Dada a série de potências em x (an = 1 ) temos que

• Para a série numérica correspondente é que converge (série geométrica de razão ½). O mesmo acontece para qualquer valor de x tal que

• Para x = 1 e x =  1 as séries correspondentes divergem ( o termo geral não tende a zero!)

• Para x = 2 a série numérica correspondente é que diverge (série geométrica de razão 2)

• Esta série pode ser considerada uma série geométrica de razão x e portanto converge para e diverge para

Vemos assim que uma série de potências pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros.

Podemos então usar os critérios de convergência para séries numéricas para determinar a região de convergência da série. Usaremos em especial os critérios da razão e da raiz para analisarmos o intervalo de convergência da série, a menos dos extremos que são os casos em que os limites nesses testes dão 1 e que portanto requerem outros critérios para serem analisados.

Exemplo: Aplicando os testes de convergência vistos, verifique a região de convergência das seguintes séries:

1) Dc = [ –1, 1 [

Solução: Aplicando o teste da razão:

Pelo teste da razão concluímos que a série é convergente para valores de x tais que . No caso em que analisamos separadamente. Assim, se x = 1 a série correspondente é a série harmônica que diverge e quando x =  1 a série correspondente é a série alternada que já vimos ser convergente pelo critério de Leibniz

2) Dc = R

Solução: Usando o critério da razão: <1. a série é portanto convergente para todo valor de x.

3) ; Dc = { 1 }

Solução: Usando o critério da raiz:

Temos assim que a série só converge para x = 1.

Os resultados observados nos exemplos anteriores podem ser generalizados e estão expressos no seguinte Teorema

Observação: Quando a série é absolutamente convergente  x  R dizemos que r =  e quando a série converge apenas para x = a dizemos que r = 0

Representação de Funções por uma Série de Potências

Se uma série de potências tem um intervalo de convergência ]a – r, a + r[, onde r é o raio de convergência, podemos usar a série de potências para definir uma função cujo domínio é o intervalo de convergência da série ]a – r, a + r[

f: ]a – r, a + r[  R

f(x) =

ou seja, para cada valor de x pertencente ao intervalo ]a – r, a + r[ associamos o valor que corresponde à soma da série

f(x) = = a0 + a1(x –a) + a2(x –a)2 + a3(x –a)3 +...

Exemplos:

1) A série geométrica tem região de convergência ]–1, 1[. Assim, neste intervalo ela define a função f(x) =

2) A série é uma série geométrica de razão r = x – a. No intervalo ela define a função

A partir da série geométrica, tanto como potência de x quanto como potência de ( x – a) podemos obter novas séries que definem outras funções.

Reciprocamente, dada uma função f: D  R podemos pensar em que situações existe uma série de potências que converge para f(x) e para que valores de x a série é convergente.

Exemplos:

1) A partir da série geométrica se x  ]–1, 1[ dê a representação em série de potências de x das seguintes funções, indicando a região de convergência de cada