TRABALHO CALCULO

ANHANGUERA EDUCACIONAL

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE RIO GRANDE

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 2º PERIODO

TRABALHO DE CÁLCULO I

Por

Acadêmicos:

Repper Luis Beira Staford RA.: 1299525775

John Lennon Scheutzow Silveira RA : 7031516431

Sandro Lemos da Costa RA : 6655379625

Rafael Pinheiro Varnes RA :6819464723

Victor Augusto Freitas de Castro RA : 6820435466

Professor Gustavo

Rio Grande, RS, 26 de Novembro de 2013

Derivadas

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, ciências economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

Conceito

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função.

Se uma função f é definida em um intervalo contendo x0 , então a derivada de f em x0 denotada por f’ (x0) é dada por:

f ’(x) = lim f ( x0+ x) – f (x0) ,

x0 x

Se este limite existir x representa uma pequena variação em x , próximo de x0 , ou seja, tomando x = x0+ x ( x = x – x0), a derivada de f em x0 pode também ser expressa por:

f ’(x0) = lim f(x) – f (x0) .

xx0 x-x0

Notações: f ’ (x0), df/dx

x=x0

df/dx (x0)

Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0.

Como podemos notar o cálculo da derivada através de sua definição nem sempre é simples, pois envolve o cálculo de um limite. Para minimizar este problema utilizamos algumas propriedades das derivadas que chamaremos de regras de derivação.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

1 – Se f é a função constante definida por f(x) = c , c E R , então f(x) = 0.

2 – Se f(x) = x , então f(x)=1.

3 – Se f(x) = xn , onde n E R* , então f ’(x) = n xn-1.

4 – Se f é diferenciável em x e g(x) = c f(x), então g’(x) = c f ’(x).

5 – Se f e g são diferenciáveis em x então (f±g)’= f ’(x) ± g’ (x).

6 – Se f e g são diferenciáveis em x, então (fg)’(x) = f ’(x) g(x)+ g’(x) f(x).

7 – Se f e g são diferenciáveis em x e g(x)≠0, então (f/g)’(x) = g(x)f ’x – f(x) g’(x) .

[g(x)]²

8 – f(x) = sen x f ’(x) = cos x.

9 – f(x) = cos x f ’(x) = - sen x.

10 - f(x) = ax  f’(x)= ax ln a; f(x) = ln x  f’(x) = 1/x.

11 – f(x) = log x  f ’ (x) = 1/x ln a ; f(x) = ln x  f ’(x) = 1/x.

12 – f(x) = arc sen (x)  df/dx = 1/√1-x².

13 – f(x) = arc cos(x)  df/dx = -1/√1-x².

14 – f(x) = arc tg (x)  df/dx = 1/1+x².

15 – f(x) = arc cotg (x)  df/dx = -1/1+x².

16 – f(x) = arc sec(x)  df/dx = 1/ |x|√x²-1 , |x| >1.

17 – f(x) = arc cosec(x)  df/dx = -1/ |x|√x²-1 , |x| >1.

18 – Derivada da função composta (Regra da cadeia) :

Sejam duas funções diferenciáveis f e u, onde f = f(u) e u= u(x), tal que

y = f(u(x)). Então dy/dx = f ’(u) u’(x).

Taxa de Variação

A derivada de f é uma função que dá a taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto (x,f(x)).

Existem várias aplicações na vida real relativas às taxas de variação, como por exemplo: velocidade, aceleração, taxa de crescimento, taxas de produção, etc... Embora as taxas de variação se refiram frequentemente ao tempo, podemos estudar a taxa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável.

Ao determinarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra devemos ter cuidado em distinguir entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea. A distinção entre essas duas taxas é análoga a distinção entre o coeficiente