Trabalho Calculo

Conceitos B´asicos

1.1 Introdu¸c˜ao

Pretendemos neste cap´ıtulo relembrar alguns conceitos b´asicos, que ir˜ao facilitar a compreens˜ao dos

m´etodos num´ericos apresentados nos pr´oximos cap´ıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados s˜ao

de ´algebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da ´algebra linear, em geral, e da teoria

dos espa¸cos vetoriais, em particular, na an´alise num´erica ´e t˜ao grande, que estudo pormenorizado desses

assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser

encontrados em livros de ´algebra linear.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente j´a s˜ao conhecidos do leitor. O primeiro ´e

o conjunto dos vetores da geometria, definidos atrav´es de segmentos orientados, e o outro ´e o conjunto

das matrizes reais m × n.

`A

primeira vista pode parecer que tais conjuntos n˜ao possuem nada em comum. Mas n˜ao ´e bem assim

conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores est´a definida uma adi¸c˜ao dotada das propriedades comutativa, associativa,

al´em da existˆencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Al´em disso, podemos multiplicar um vetor por um n´umero real. Essa multiplica¸c˜ao tem as seguintes

propriedades (j´a certamente vista por vocˆe no seu curso):

(u + v) = u + v ,

( + )u = u + u ,

()u = (u) ,

1 · u = u ,

onde u, v s˜ao vetores e ,  s˜ao escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes tamb´em est´a definida uma adi¸c˜ao dotada tamb´em das propriedades associativa,

comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto `a adi¸c˜ao ´e o mesmo.

Mas n˜ao param por a´ı as coincidˆencias.

Pode-se tamb´em multiplicar uma matriz por um n´umero real. Essa multiplica¸c˜ao apresenta as mesmas

propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

(A + B) = A + B ,

( + )A = A + A ,

()A = (A) ,

1 · A = A ,

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