TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

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UNIVERSIDADE METROPOLITANA DE SANTOS

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

FACULDADE DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS HUMANAS

CURSO DE MATEMÁTICA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Cristiane Teles Vieira, Delvian Gomes dos Santos, FabieleMarcelino

Potenciação

RESUMO O presente trabalhopretende desenvolver de forma clara e objetiva o assunto de potenciação e não apenas mostrar as aplicações das potências em nosso cotidiano, e sim, mostrar-lhes os seus conceitos, propriedades e resoluções, afim de que abstraiam esses conhecimentos e utilizem-no para tornar suas vidas mais práticas. Quando conseguimos compreender o conteúdo, saberemos onde melhor se encaixa a sua aplicação. Contribuindo assim para a formação de indivíduos conscientes de seu papel na sociedade e apto para a tomada de decisão INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo analisar o tema Potenciação. Sabemos que as operações básicas da aritmética são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Através do processo de multiplicação podemos encontrar outras operações: Uma delas é a Potenciação. Potenciação é sinônimo de multiplicação repetida. A ideia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram a vida humana auxiliando, tornando possíveis muitas representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexidade. Assim como todas as descobertas do homem, a potenciação possibilitou novos horizontes e permitiu a expansão dos conhecimentos humanos norteando viagens imagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçando ciências afins como a astronomia, física, química e biologia. A humanidade demorou milhares de anos para chegar da contagem simples até os cálculos de Potenciação. Uma importante etapa desse processo foi desenvolvida por Arquimedes, na Grécia antiga. Em suas especulações, Arquimedes resolveu calcular quantos grãos de areia eram necessários para encher o universo, em seu trabalho, o contador de grãos de areia, Arquimedes criou um sistema um sistema de numeração especialmente destinado a exprimir números muito grandes, como os dos grãos de areia necessários a preencher uma esfera igual à distância entre a terra e o sol. Uma das primeiras referências à operação de potência encontra-se num papiro egípcio que remonta ao final do império médio (cerca de 2100 a 1580 a.c). Ao ser ali, apresentado o cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular u usado um par de pernas símbolo para o quadrado de um número (Ball, 1960). A noção de potência era, também, conhecida dos babilônios. APRESENTAÇÃO Ensinar potenciação nos dias de hoje, acaba se tornando desafiante ao educador, pois o educador tem que refletir a melhor maneira de passar o conteúdo para o aluno, para não acabar sendo desinteressante e fazendo com que o aluno acabe com uma visão errônea a respeito da matéria. Segundo MUNARI ( 2010) é perfeitamente possível e desejável, empreender uma reforma do ensino na direção da matemática moderna, pois, por uma convergência notável, esta revela-se bem mais próxima das operações naturais ou espontânea do sujeito (criança ou adolescente) do que o ensino tradicional desse ramo, excessivamente submetido à história. (MUNARI, 2010, p. 66).  Contudo, o presente trabalho tem com o objetivodirecionado aos alunos do 6 º ano  do ensino fundamental II  às novas praticas para o ensino de potencias ,  essas que venham facilitar a relação ensino aprendizagem em sala, bem como a relação professor-aluno. Palavras Chaves: Dificuldades, aprendizagem, potências.

JUSTIFICATIVA A potenciação é um conteúdo de suma importânciapara o avanço no pensamento matemático, mesmo não sendo usada no dia-a-dia. A potência nos é útil na representação de números complicados, números muito grande ou pequenos, e nos facilita nas operações.

3.OBJETIVOS Esse trabalho tem como objetivo ensinar a potenciação, mostrando como desenvolve o cálculo do produto de fatores iguais, quando que se tem uma base e um expoente, onde deverá ser calculado um produto quando o expoente indica a quantidade de vezes que a base deverá ser multiplicada. A aprendizagem ocorrerá através de exemplos e diversas atividades para que ocorra a  compreensão. 3.1OBJETIVO GERAL Desenvolver conceitos relacionados às medidas de superfície e formara imagem mental de perímetro, área  e volume por meio da representação de diferentes formas geométricas. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Introduzir os conteúdos de potenciação de números racionais. Calcular potência de base racional e expoentes naturais. .

4.PÚBLICO ALVO O presentetrabalho foi preparado para atender alunos do 6º ano do ensino fundamental II.

5. METAS Mostrar aos alunos a importância de saber a tabuada, porque é uma ferramenta imprescindível para se aprender a potenciação e também saber distinguir numa potenciação os três itens fundamentais que são: a base, o expoente e a potência. Precisa-se saber cada uma delas para formar o todo que é o produto. Aplicar várias atividades de potenciação para que o aluno consiga interpretar cada potência. 6. METODOLOGIA O plano de aula foi proposto para tempo previsto de 04 aulas de 50 minutos. 6.1 PRIMEIRO PERÍODO Na primeira aula o aluno terá contato com a origem histórica da Potenciação, entendendo que a idéia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram a vida humana. O aluno perceberá que a humanidade demorou milhares de anos para chegar da contagem mais simples até os cálculos de potenciação, tornando possíveis muita representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexibilidade. A seguir ele compreenderá que a utilização da palavra potência, no contexto da matemática é atribuída a HIPÓCRATES de QUIO (470 A.C). Hipócrates designou o quadrado de um segmento pela palavra dynamos, que significa precisamente potência. Na sequência o aluno também verá que conceitos antigos dos quais se tem registros aparecem do século III a.C. através do astrônomo e inventor Arquimedes em seu livro contador de areia cita à tentativa de calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo. Nos cálculos de Arquimedes apareciam sempre contas de multiplicar em que o número 10 aparecia repetidas vezes, surgiu então à idéia de representar sua resposta usando a potência de base 10. Arquimedes também construiu uma tabela e elaborou um método de escrever números grandes utilizando algarismos especiais, que ele chamou “miríades” e que hoje conhecemos como expoentes. Com seus cálculos, o matemático grego contribuiu para a elaboração da potenciação e formulou algumas leis e propriedades da potência. Na sequência depois dessa introdução à história da potenciação, o professor deverá fazer uma sondagem explorando o conhecimento prévio dos alunos perguntado: •        O que eles sabem sobre potência? •        O que é potência de um número? •        O que é dois elevados a quarta potência? •        Por que dizemos que o número multiplicado por ele mesmo é um número elevado ao quadrado? •        Onde estão as Potências? Respondendo a resposta anterior o professor levará o aluno a compreender que as potências estão em nosso cotidiano demonstrando alguns exemplos: •        Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro 8x8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro, utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 8² =64 •        Num sítio, as laranjas extraídas periodicamente, são embaladas de forma cúbica: 4 laranjas no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Se desejarmos saber quantas dessas frutas têm nesses cubos, elevamos ao 4, o número de vezes que ele se repete (3), ficando 4³= 64.

6.2 SEGUNDO PERÍODO Na segundaaula o professor conduzirá a aula propondo perguntas, problemas e fazendo pequenas exposições, de modo a abordar o tema. Vejamos alguns exemplos: •        O professor irá propor aos alunos que resolvam mentalmente a equação 2 elevado a x= 32 ou x³ =27, para que se recorde a potenciação; •        Na sequência o professor irá propor o problema do boato e pedir aos alunos que expliquem o raciocínio que os levou à solução; Problema do boato Em 15 minutos, um sujeito espalha um boato para 3 pessoas. Cada uma delas conta o boato a outras 3, no tempo médio de 15 minutos. Cada uma dessas outras pessoas difunde o boato da mesma maneira, no mesmo tempo médio. E assim prossegue a boataria... .Em pouco tempo, o boato se propaga. •        Em seguida o professor irá demonstrar que a potenciação é útil no estudo de várias situações. Por exemplo, para compreender a difusão de epidemias, ou até mesmo de boatos. A seguir para facilitar a compreensão do problema, o professor demonstra a resolução do problema através de uma tabela para que o aluno examine a tabela e constate a rapidez que o boato se propagou. Tempo (min        0 a 15        16 a 30        31 a 45        46 a 60        61 a 75 Novas pessoas informadas        3 = 3¹        3 x3 = 3² = 9.        3² x 3 = 3³ = 27.        3³ x 3 = 3 elevado a 4 = 81.        3 elevado a 4 x 3= 3 elevado a 5 = 243. •        A seguir mostrará quanto é 10³,10², 10¹ e pedir aos alunos que encontrem o valor de 10°, 10-¹, 10-² etc. Demonstrando um padrão que leva à solução: de 10³ para 10², divide-se por 10; de 10² para 10¹, divide-se por 10; continuando assim, chega-se ao resultado de 10°. 10-¹ etc. •        O professor irá escrever 0,000005 em notação científica e perguntar com se escreve 3000000. 6.3 TERCEIRO PERÍODO Na terceira aula o professor começará a aula com uma conversa inicial com os alunos ressaltando que as principais operações são: Adição, subtração, multiplicação e divisão. Utilizando o processo de multiplicação podemos encontrar outra operação: a Potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. E que os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. Em seguida o professor irá demonstrar que podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2. 2. 2 = 8 A seguir mostrará que podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2. 2. 2 = 2³ = 8. Levando-os a compreenderem que essa representação é conhecida como potenciação, portanto sempre que tiverem fatores iguais, poderão montar uma potência: 3³ = 27. 3____ base. ³______ expoente. 27_____ potência. A base sempre será o valor do fator. O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto. Seguindo o aluno terá contato com as Propriedades da Potenciação: •        Multiplicação de potências de mesma base: O professor demonstrará através de exemplos que para resolver a multiplicação de potências de mesma base conserva a base e adiciona os expoentes. Exemplo: 4². 4³ = 4² +³ = 4 elevado a quinta potência. •        Divisão de potências de mesma base: Para resolver basta conservar uma das bases e subtrair os expoentes. Exemplo: 6³: 6¹ = 6³ - ¹ = 6². •        Potência de Potência: É quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la conserva a base e multiplica os expoentes. Exemplo: (7²)³ = 7² * ³ = 7 elevado a 6. •        Potência de Base 10: O professor conduzirá a aula demonstrando que potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenha n fatores 10, facilitando assim sua representação. Exemplos: 10³ = 1000 (3 zeros) 10 elevados a 5 = 100000 (5 zeros). 10 elevados a 7 = 10000000 (7 zeros). Nesse tipo de potência , quando o expoente for positivo, ele indicará a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1. Quando o expoente for negativo ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1. Exemplo: 10-² = 0,01 (2 casas decimais) 10 elevado a -5 = 0,00001(5 casas decimais). 6.4QUARTO PERÍODO Para iniciar a 4 aula o professor conduzirá com uma pequena revisão das aulas anteriores propondo questões sobre as Propriedades das Potências. Em seguida enfatizará que as potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Prosseguindo a aula o professor demonstrará o desenvolvimento de uma potência revisando e explorando o conhecimento dos alunos: 3² = 3 x 3 = 9. 4³ = 4 x 4 x 4 = 64. 10³ = 10 x 10 x 10 = 1000. 2 elevado a 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 6 elevado a 4 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296. Continuando o professor apresenta o tema da quarta aula: Aplicações das Potências no cotidiano.  Conduzindo a aula o professor explorará o conhecimento prévio dos alunos, propondo perguntas, de modo a abordar o tema Aplicações de Potências no cotidiano. Seguindo com várias demonstrações das potências em nosso cotidiano, os cálculos envolvendo juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências, a notação científica utiliza potência no intuito de representar números grandes ou pequenos. É notória a importância das potências nos cálculos matemáticos modernos, facilitando e contribuindo na resolução de problemas cotidianos. Seguindo a aula o professor irá proporsituações problemas para ser resolvidos em sala de aula. Problema 01: Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de juros de 2% ao mês durante 10 meses, no regime de juros compostos. Determine o valor a ser recebido após o tempo da aplicação. Resolução: A situação acima envolve juros compostos, por isso ocorre acumulação de capital que deverá ser expresso por uma potenciação onde o número corresponderá ao expoente e a base será representada pela taxa. Observe o cálculo do montante nos juros compostos. M = C. (1+i) elevado a t (base (1+i) (expoente t). M= 500. (1+0,02)¹° M= 500. 1,02¹° M= 500. 1,21899441999475713024 M= 609,50 Problema 2: Notação científica Números muito grandes A distância entre o sol e a terra é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros (150000000). Esse valor pode ser expresso utilizando a seguinte notação decimal: 1,5 x 10 elevado a 8. (base = 10, expoente = 8). Números muito pequenos 0,00000000007 = 7 x 10- ¹° (base =10, expoente = -10). 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS Com os conceitos usados nesse trabalho, pretende–se abrir horizontes para o mundo da pontenciação, com formas claras e objetivas sobre o assuntoe não apenas mostrar as aplicações das potências em nosso cotidiano, quando conseguimos compreender o conteúdo, saberemos onde melhor se encaixa a sua aplicação. Contribuindo assim para a formação de indivíduos conscientes de seu papel na sociedade e apto para a tomada de decisão. 8. REFERÊNCIAS IMENES, Luiz Márcio. Sobre o conhecimento matemático do professor de matemática. São Paulo: PUC, 202. Introdução a história das Potências. Disonivel em: :. Acesso em: 24 set. 2015. LELLIS, Marcelo. Um estudo sobre o fracasso do ensino e da aprendizagem da matemática. Rio Claro: Unesp, 1989. Potência (2): História da descoberta do conceito. Disponível em:.:. Acesso em: 28 set. 2015.

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