Taxa Variação

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Sabemos que as grandezas variam. Todos os dias pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, xvaria de x0 até x0 + Δx(podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δx considerada.

Dada uma função y = f (x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente davariável independente, podemos considerar algumas situações:

Figura I

Figura II

Figura III

Figura IV

Observação:

Ao considerar o acréscimo Dx, podemos tomar Dx > 0, obtendo [x0, x0 + Dx] como sendo o intervalo no qual x varia; ou tomando Dx < 0, obtemos o intervalo de variação [x0 + Dx, x0]. Em ambos os casos, é possível calcular .

O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto do domínio será muito mais eficaz.

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?

Exemplo: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por s (t) = t2 + 5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t = 2. Como podemos achar essa velocidade?

Sendo s (t) = t2 + 5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo [2, 2 + Dt], com Dt > 0 ou Dt < 0. Temos:

Ds = s (2 + Dt) – s (2) = [(2 + Dt)2 + 5] – [4 + 5] = 4. Dt + Dt2 = Dt.(4 + Dt)

e assim,