Taxa Variação

1. Retas Tangentes e Taxas de Variação: Noções Básicas

OBJETIVO: Estabelecer uma relação entre retas tangentes e taxas de variação.

2. Inclinação de uma Reta Tangente

OBJETIVO

Entender a relação entre a inclinação da reta tangente em P (mtg) e a inclinação da reta secante entre P e Q

(msec) quando o ponto Q se move ao longo da curva y=f(x) em direção ao ponto P.

Em muitos problemas o interesse maior será com a inclinação da reta tangente mais do que com a própria

reta. Considere a figura:

x0 x1

f(x0)

f(x1)

P

y=f(x) Q

f(x1) - f(x0)

x1 - x0

reta secante

x

y

reta tangente

De acordo com a figura, a inclinação da reta secante é dada por:

1 0

sec

1 0

fx fx () () m

x x

− = −

De acordo com a mesma figura, o ponto Q move-se ao longo da curva em direção ao ponto P se e

somente se x1 tende a x0. Assim, a inclinação da reta tangente em P é:

1 0

1 0

tg

1 0

() () limx x

fx fx

m → x x

− = −

3. Taxas de Variação Média e Instantânea

As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações práticas:

(a) Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma

colônia varia com o tempo.

(b) Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a

quantidade de produtos manufaturados.

(c) Um pesquisador na área médica pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria

varia com a concentração de álcool na corrente sanguínea. Em geral, se x e y forem quantidades relacionadas por uma equação y=f(x), pode-se considerar a taxa

segundo a qual y varia com x.

Há distinção entre taxa média de variação, representada pela inclinação da reta secante, e taxa

instantânea de variação, representada pela inclinação da reta tangente.

DEFINIÇÃO. Se y=f(x), então a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1] é a