Taxa de variação média

Resumo

O trabalho analisa o estudo da “Derivada” para nos dar a entender seus conceitos.

Foi desenvolvida para calcular as variáveis de forma implícitas.

Tornando se possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos, e estudar funções. Fermat foi o inventor do “Calculo Diferencial”.ele não dispunhava de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ". A derivada é um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos campos da Ciência.

Etapa 1

1.Passo 1

1.1 Taxa de variação média de f.

Essa razão é chamada de quoeficiente de diferenças.

Podendo ser aplicada a qualquer função f dizemos:

Taxa de variação média de f

(f(a+h)-f(a))/h

no intervalo de a+h

O numerador,f(a+h)-f(a), mede a variação nos valores de f no intervalo de aaté a+h. Logo, o quociente de diferenças é a variação fdividida pela variação em x.

Embora o intervalo não seja nescessariamente um intervalo de tempo, falamos sobre a taxa de variação média de f no intervalo.

A taxa de variação média em um intervalo não é igual a sua variação absoluta. A variação absoluta é a diferença entre os valores de f nas extremidades do intervalo por exemplo:

f(a+h)-f(a).

Já a taxa de variação média é a variação absoluta dividida pelo tamanho do intervalo :

(f(a+h)-f(a))/h.

A taxa de variação média nos diz com rapidez que a função muda de uma extremidade do intervalo até a outra, em relação ao tamanho do intervalo.

É útil saber a taxa de variação. Por exemplo:

Alguém lhe oferece um emprego que paga R$ 200 e você quer saber quanto tempo vai ter que trabalhar para ganhar esse dinheiro.

Para saber a taxa de variação é só pegar R$200, dividir pelo tempo que vai levar para recebe-lo,então você decidir se aceita ou não a proposta de emprego.

1.2 Taxa de variação instantânea de f.

A taxa de variação instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos a taxa de variação média em intervalos cada vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f^' (a).

A derivada de f em a, denotada porf^' (a), é definida por

Taxa de variação

=f^' (a)=lim┬(h→0)⁡ (f(a+h)-f(a))/h

de f em a

Se o limite existe, dizemos que é f é diferenciável em a.

f^' (a) é a taxa de variação de f(x) quando a variável x varia,dizemos que f^' (a) é a derivada de f em relação a x em x=a.

Exemplos

Exemplo 1. Obtenha a taxa de variação da função f(x)=5x² no ponto x=2.

Solução: f(2+h)-f(2)=5*(2+h)^2=5*(4+4h+h^2 )=20+20h+5h^2

lim┬(h→0)⁡ (f(2+h)-f(2))/h=lim┬(h→0)⁡ (20+20h+5h²-20)/h=( 0 )/( 0 )

Recaímos numa forma indeterminada, mas , colocando o h em evidência, teremos

lim┬(h→0)⁡ (20h+5h²)/h=lim┬(h→0)⁡ (h(20+h))/h=lim┬(h→0) 20+h=20

Exemplo 2.

r=f(V)com h=0,01 e h=-0,01,temos os quocientes de diferenças

(f(1,01)-f(1)≈)/0,01 0,2061 e (f(0,99)-f(1))/(-0,01)≈0,2075.

Com h=0,001 e h= -0,001,

(f(1,001)-f(1))/0,001≈0,2067 e (f(0,999)-f(1))/(-0,001)≈0,2069.

Os valores desses quocientes de diferenças sugere que o limite está entre 0,2061 e 0,2075. Concluímos que o valor deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores menores de h confirma nossa hipótese. Logo,

f^' (1) Taxa de variação instantânea do raio em relação ao volume em V=1 ≈0,207

2. Passo 2

2.1 Regra da função Constante e Potência

Se tivermos uma fórmula para f, podemos encontrar uma fórmula para f^'? Muitas vezes, sim, como ilustrado no exemplo a seguir. De fato , muito do poder do cálculo depende de nossa habilidade em encontrar fórmulas para as derivadas de todas as funções.

Derivando pela definição.

Exemplos da regra da derivada da função constante

Ex:1

Se f(x)=k→f^' (x)=0

Ex:2

Se f(x)=x →f^' (x)=1

Exemplos da regra da derivada da função potência

Ex:1

Se f(x)=x^2→f^' (x)=2x^(2-1)=f^' (x)=2x

Ex:2

Se f(x)=4x^3→f^' (x)=3*4x^(3-1)=f^' (x)=12x²

3. Passo 3

3.1 Interpretações geométrica e analítica da derivada

A interpretação geométrica da derivada está relacionada com a definição da reta tangente; a interpretação analítica esta relacionada com a definição de aproximação linear.

3.2 Usando unidades para interpretar a derivada

Exemplo