Taxa média De Variação

Calcular a derivada de f(x) = 3x² + 5x - 12.

Resposta: f ’(x) = 6x + 5.

Escolha a alternativa correta entre as afirmações abaixo:

a) ( ) A taxa de variação média é a inclinação da reta tangente.

b) ( ) A taxa de variação média é a inclinação da reta concorrente.

c) ( ) A taxa de variação média é a inclinação da reta externa.

d) (x) A taxa de variação média é a inclinação da reta secante.

e) ( ) N.D.A.

Justificativa da escolha:

Taxa de variação média

Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim y é uma função de x e escreveremos y=f(x). Se x variar de x0 para x1, então a variação de x (também chamada de incremento de x) é:

E a variação correspondente de y é:

O quociente de diferenças:

É denominada de Taxa de variação média de y em relação a x no intervalo de e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante (reta que intersecta 2 pontos de uma curva).

Exemplo: seja y = x² + 1.

1) Achar a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo de [3,5].

Solução: Taxa de variação média (inclinação da reta secante). Seja

e . Então:

Interpretação do resultado: no intervalo [3,5], para cada unidade de aumento de x a variável y aumenta 8 unidades.

Determinar a equação da reta tangente à curva C(q) = q² - 6q + 8 no ponto q = 1, construindo seu gráfico.

C(q) = q² - 6q + 8

C’(q) = 2q – 6

C’(q) = 2*1 – 6

C’(q) = -4

Se q = 1

C(1) = 1 – 6 + 8 = 3

Ponto [1,3]

Ou seja, quando q=1 então c=3, em outras palavras, o ponto de tangencia é dado pelas coordenadas (1,3)

Vamos agora determinar o coeficiente angular da reta tangente, que sabemos ser o valor da derivada da curva no ponto de tangencia:

Note que: derivada=inclinação da reta tangente=coeficiente angular da reta tangente

Derivando a função:

c'(q) = 2q - 6

Fazendo q = 1:

c'(q) = 2.1 - 6 = -4

Isto significa que a inclinação da reta tangente no ponto (1,3) , ou seja, o coeficiente angular da reta é -4.

Colocando