Taxas vinculadas. diferenciais
Seminário: Taxas vinculadas. diferenciais. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicosPor: ederfurtado • 28/3/2014 • Seminário • 2.004 Palavras (9 Páginas) • 263 Visualizações
Aula 14
Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1 Taxas relacionadas
Na linguagem do c¶alculo diferencial, se uma vari¶avel u ¶e fun»c~ao da vari¶avel v, a taxa
de varia»c~ao (instant^anea) de u, em rela»c~ao a v, ¶e a derivada
du
dv
.
Em v¶arias problemas de c¶alculo, duas ou mais grandezas vari¶aveis est~ao relacionadas
entre si por uma equa»c~ao. Por exemplo, na equa»c~ao v1=v2 = (senμ1)=(sen μ2),
temos quatro vari¶aveis, v1, v2, μ1 e μ2, relacionadas entre si.
Se temos vari¶aveis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»c~ao,
podemos ainda ter as tr^es como fun»c~oes de uma ¶unica vari¶avel s. Por deriva»c~ao impl¶³cita,
ou μas vezes, por deriva»c~ao em cadeia, podemos relacionar as v¶arias derivadas du
ds , dv
ds e
dw
ds, ou ainda, por exemplo, du
dv , dv
dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas
vari¶aveis est~ao inter-relacionadas, e nos quais s~ao levadas em conta as taxas de varia»c~oes
instant^aneas, de algumas grandezas em rela»c~ao a outras, s~ao chamados, na literatura
do c¶alculo, de problemas de taxas relacionadas.
Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do
topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»ca a encher-se
de ¶agua, a uma vaz~ao constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que
sobe o n¶³vel da ¶agua (dh=dt), em fun»c~ao da profundidade h. Com que velocidade a
¶agua sobe no instante em que h = 0?
Solu»c~ao. O volume da ¶agua quando esta tem profundidade h ¶e dado por V = 1
3¼r2h,
sendo r o raio da superf¶³cie (circular) da ¶agua. Veja ¯gura 14.1.
Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~oes de semelhan»ca de
tri^angulos, temos r=R = h=H, da¶³ r = Rh=H.
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Taxas relacionadas. Diferenciais 118
H
h
R
r H
h
R
r
Figura 14.1.
Assim sendo, obtemos
V =
1
3
¼
μ
Rh
H
¶2
h =
¼R2
3H2h3
A taxa de varia»c~ao do volume de ¶agua no tempo, isto ¶e, sua vaz~ao, ¶e constante, ou seja
dV
dt
= k (litros por minuto).
Por deriva»c~ao em cadeia, temos
dV
dt
=
dV
dh
¢ dh
dt
. Como
dV
dt
= k, temos ent~ao
k =
¼R2
H2 h2 ¢ dh
dt
, ou seja,
dh
dt
=
kH2
¼R2
¢ 1
h2
Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶³vel da ¶agua ¶e inversamente
proporcional ao quadrado de sua profundidade.
Quando h = 0, temos, dh
dt = +1. Na pr¶atica, este resultado nos diz que nossa
modelagem matem¶atica n~ao nos permite determinar a velocidade de subida da ¶agua no
instante em que o tanque come»ca a encher-se.
Exemplo 14.2 Uma escada de 5m de comprimento est¶a recostada em uma parede. A
base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg.
Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶a
a 3m da parede?
Solu»c~ao. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama geom¶etrico para o problema, em que denotamos
por x e y as dist^ancias da base e do topo da escada μa base da parede, respectivamente.
Temos
dx
dt
= 2 (cm/seg).
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x
y
5
escada vista
de perfil
Figura 14.2.
Pelo
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