Tecnicas De Integração

Integral Indefinida

Introdução

Na matemática freqüentemente ocorre conhecer-se a derivada de uma função, e desejar-se encontrar a função que a gerou. Por exemplo, conhecendo-se a velocidade de uma partícula e deseja encontrar-se sua posição em determinado instante , isto é, . Para resolver esse problema é necessário “desfazer” a derivação (ou diferenciação), isto é, tem-se de antiderivar a função.

Definição: Uma função é denominada uma antiderivada de sobre um intervalo se para todo em .

Por exemplo, seja a função . Não é difícil descobrir uma antiderivada de caso se mantiver a regra da potência em mente. De fato se , então . Mas, a função também satisfaz . Consequentemente, ambas e são antiderivadas de . Assim, qualquer função do tipo , onde é uma constante, é uma antiderivada de .

Porém, a questão é: Afora esta família de antiderivas existem outras ?

Lembrando que o Teorema do Valor Médio prova que se duas funções possuem derivadas idênticas, em um intervalo, então elas diferem apenas por uma constante. Assim, se e são duas antiderivadas quaisquer de , então

logo onde é uma constante, ou seja, . Assim, pode escrever-se:

Teorema: Se for uma antiderivada de em um intervalo , então a antiderivada mais geral de em é

onde é uma constante Arbitrária.

Exemplo: Tomando a função , sua derivada é obtida, multiplicando-se a variável pelo expoente e em seguida subtraindo uma unidade do expoente de , ou seja e a sua diferencial é , isto é, . Finalmente, a operação inversa é definida pela soma de uma unidade ao expoente da variável , dividindo-a por esse novo expoente e somando-se uma constante aleatória à expressão obtida, que representa a constante que desapareceu durante a derivação. Desta forma, a antiderivada (de ) . Note-se que a função recuperada contém uma constante indeterminada, que se for derivada será a mesma derivada da qual foi iniciada a antiderivada.

Integral Indefinida de funções de uma variável

Necessita-se de uma notação conveniente para as antiderivadas, que as torne fáceis de serem manipuladas. Assim, tradicionalmente adota-se para a antiderivada de antiderivada a denominação Integral Indefinida e cuja notação é .

Integral Indefinida de funções de uma variável do tipo

Se a derivada de uma função é , sua diferencial será e sua integral (antiderivada)

, que resultará em

(01)

Observação: Note-se que a primeira expressão não é válida para , pois ter-se-ia , isto é, a integral não seria definida e real. Para resolver-se este problema foi necessário partir da função cuja derivada fosse igual a , isto é, .

Propriedade das integrais indefinidas:

a)

b)

c)