Trabalho De Calculos

Faculdade Anhanguera de Guarulhos

Curso de Engenharia Elétrica

Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

ATPS realizada pelos alunos: Alexandre F. De Almeida (RA: 6816417024), Diogo Villas Boa Sanzoni (RA: 6619366027), Max Claudio(RA: 6618341035),Paulo Cesar (RA: 6820232482) e Viviane Ferreira Da Silva(RA: 6273250428) do 2º semestre do curso de Engenharia Elétrica, na Faculdade Anhanguera de Guarulhos.

Etapa 1

Aulas-tema: Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

Passo 1

Fazer as atividades apresentadas a seguir.

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ªed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos e princípios gerais de cálculo numérico. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da álgebra linear em cálculo numérico.

2. Elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a

pesquisa realizada no passo 1. Esta pesquisa será imprescindível para a compreensão e

realização dos próximos passos.

3. Fazer o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar a página:

• Geogebra.

Disponível<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTcVk/edit?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013.

Princípios Gerais de Cálculo Numérico

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário realizar uma sequência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.

Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a formulação

matemática do problema (relacionados a aproximação da situação física e a erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de solução numérica (erros de truncamento e de arredondamento).

Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Erros também podem surgir pelo fato que as operações aritméticas quase nunca podem ser efetuadas com precisão completa; estes são denominados de erros de arredondamento. A maioria dos números tem representações decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representações decimais finitas, a divisão pode introduzir números que devem ser arredondados e a multiplicação pode produzir mais dígitos do que podem ser razoavelmente mantidos.

Os tipos de arredondamento mais utilizados são:

- tipo corte: as casas em excesso são simplesmente abandonadas;

- para o número de máquina mais próximo: se a máquina trabalha com dalgarismos significativos para a mantissa1 de um número, então analisa-se o algarismo de ordem d+ 1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d; caso contrário, o algarismo de ordem d permanece inalterado.

Combinação Linear

Uma das características mais importantes do espaço vetorial, e a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.

Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1,v2....vn ϵ V e a1, a2.... an números reais (ou complexos)então o vetor

V = a1v1+a2v2+....anvn

é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de v1.... vn.

Exemplo:

Escreva o vetor w = (2,7) ϵ R² como uma combinação linear dos vetores

u = ( 1, 2 ) e v = ( 1, -1 ) de R².

w = au + bv

( 2, 7 ) = a ( 1, 2 ) + b ( 1, -1 )

( 2, 7 ) = (a, 2a ) + ( b, -b )

a + b = 2

2a + (-b) = 7

Calculando a:

3a = 9

a = 9/3

a = 3

Calculando b:

a + b = 2

3 + b = 2

b=2 – 3

b = -1

w = 3u + (-1)bou w = 3u – v

Dependência ou Independência Linear

• Dois ou mais vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um deles e combinação linear dos demais vetores.

• Dois ou mais vetores são linearmente independentes se, e somente se, nenhum deles e combinação linear dos demais vetores.

Visão Geométrica de dependência e independência linear

• Um vetor v é linearmente dependente se v = 0.

• Dois vetores são linearmente dependentes se eles são paralelos.

• Três vetores são linearmente dependentes se eles são coplanares.

• Quatro vetores ou mais são linearmente dependentes.

• Quando os vetores não são linearmente dependentes eles são chamados de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e

independência linear de dois e três vetores no R³ :

a) b)

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores v1e v2apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

Errada: Poisv1 é uma combinação linear de v2.

II – os vetores v1, v2 e v3 apresentados no gráfico (b) são LI;

Certo: Para eles serem dependentes eles precisam ser coplanares, ou seja, se disposto todos no mesmo plano ( não pode possuir volume).

III – os vetores v1, v2 e v3apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente

dependentes);

Certo: eles são dependentes, pois são coplanares. São dispostos no plano bi-dimensional( não possui volume).

2. Desafio B

Dados os vetores u = (4, 7, −1) r e v = (3, 10, 11) r, podemos afirmar que u r e v r são linearmente independentes.

u= ( 4, 7, -1 ) e v= ( 3, 10, 11 ),

( 4, 7, -1 ) = a ( 3, 10, 11 )

( 4, 7, -1 ) = (3a , 10a , 11a )

3a = 4 → a = 4/3

10a = 7 → a = 10/7

Não se pode existir dois valores diferentes para ( a ), por isso os vetores u e v são linearmente independentes.

Certa.

3. Desafio C

Sendo w1 = (3,-3,4)E w2 = (-1,2,0)E, a tipla coordenada de w = 2w1 – 3w2 na base E é (9, -12, 8)E.

w1 = ( 3, -3, 4 ) e w2 = ( -1, 2, 0 )

w = 2w1 – 3w2

w =2*( 3, -3, 4 ) – 3* ( -1, 2, 0 )

w = ( 6, -6, 8 ) – ( -3, 6, 0 )

w = ( 9, -12, 8 ) Certo

Passo 3

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

1. Desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

2. Desafio B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

3. Desafio C:

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.

Obs: As alternativas em negrito são as corretas.

Sequencia dos números encontrados foram: 1 1 1 0 1

Bibliografia (texto do passo 1):

• http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/introdu.pdf

• http://www.inf.ufrgs.br/~rlflupchinski/files/20112/NUMERICO/numerico-bortoli.pdf

• Álgebra Linear – Jose Luiz Boldrini – 3ª edição

• http://www.youtube.com/watch?v=xquo2y7D4R0