Trabalho de Analise

Introdução

Neste texto , estudaremos mais a fundo as funções contínuas. Intuitivamente, podemos imaginar uma função contínua em um ponto a de seu domínio como sendo uma função que tenha comportamento estável em uma vizinhança de a . Mais precisamente, uma função é contínua em a se pequenas variações de um número real x próximo ao ponto a causam pequenas variações de f x( ) em torno de f a( ) . Para colocar isso de um modo claro, devemos usar a noção de limite, desenvolvida nas aulas passadas. As funções contínuas têm propriedades adequadas ao estudo de fenômenos físicos. Estudaremos neste tópico uma das principais destas propriedades: o Teorema do Valor Intermediário. Exemplos deste tipo são abundantes na natureza: se uma pessoa nasce com 40cm e quando adulto tem 170cm , em algum momento da vida teve exatamente 100cm de altura. Se um recipiente, a princípio vazio, é cheio em uma hora, algum instante dessa hora esteve exatamente com metade da capacidade ocupada. Nestes dois casos, as funções que regem a variação da grandeza (altura da pessoa ou volume ocupado no recipiente) são contínuas.

Inicialmente mostraremos que uma função f : X → R diz-se contínua no ponto a ∈ X quando ´e possível tornar f(x) arbitrariamente próximo de f(a) desde que se tome x suficientemente próximo de a. Em termos precisos, diremos que f : X → R é contínua no ponto a ∈ X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos achar δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ impliquem |f(x) − f(a)| < ε.

Exibiremos, a seguir, alguns exemplos de funções e o porquê elas são continuas.

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Teorema: Se f : X → R ´e contínua no ponto a ∈ X, então f ´e limitada numa vizinhança de a, isto ´e, existe δ > 0 tal que, pondo Uδ = X ∩ (a − δ, a + δ), o conjunto f(Uδ) é limitado.

Demonstração: Seja f(a)= limx→a f(x). Tomando ε = 1 na definição de continuidade, obtemos δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x)−f(a)| < 1 ⇒ |f(x)| < |f(a)|+1. Tomemos este δ e ponhamos A ∈ Uδ = |f(a)| + 1.

Teorema: Se f, g: X → R são contínuas no ponto a ∈ X e f(a) < g(a), então existe δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ X com |x − a| < δ.

Demonstração: Seja . Ent˜ao f(a)+ε = = g(a) − ε. Existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε) e g(x) ∈ (g(a) − ε, g(a) + ε), donde f(x) <  < g(x). Logo f(x) < g (x).[pic 4][pic 5][pic 6]

Teorema: Para que f : X → R seja contínua no ponto a ∈ X é necessário e suficiente que se tenha lim f(xn) = f(a) para toda sequência de pontos xn ∈ X com lim xn = a.

Demonstração: Suponhamos que limx→a f(x) = f(a) e que limn→∞ xn=a, com xn ∈ X . Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ |f(x) – f(a)| < ε. Existe também n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ 0 < |xn − a| < δ. Segue-se que n > n0 ⇒ |f(xn) – f(a)| < ε, donde limn→∞ f(xn) = f(a).  A reciproca é parecida.

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