Transformada De Legendre

INTRODUÇÃO

São utilizadas para transformar qualquer relação termodinâmica fundamental em termos de suas diversas variáveis independentes (S, V, T, P , etc.) em outras relações termodinâmicas fundamentais.Isto se fundamenta, em utilizarmos um dos três pares de funções independentes vistas acima, ou outras quaisquer (Tester & Modell, p. 862), caso tenhamos outras forças interagindo no sistema (magnéti-cas,superficial, etc.). As transformadas de Legendre, conjuntamente com o teorema de Euler (p.122, Wrede & Spiegel, adv.calculus, 2 ed. , 2002) são essenciais para a determinação das várias relações fundamentais das várias funções energéticas

DESENVOLVIMENTO

Para a compreensão da transformação de Legendre iremos considerar aqui a interpretação geométrica da mesma, e por comodidade mas sem perda de generali-dade, consideraremos também uma função Y(x) dependente de apenas uma variá-vel independente, x.

Sendo no presente caso, à primeira vista pode pare-cer que para se obter uma função Y(P) onde P e não X desempenha o papel de vari-ável independente bastaria eliminar-se X em Y(X) mediante a relação estabelecida entre P e X por . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mos-trará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido Y(P), não se pode inverter o processo de forma a se obter no-vamente de forma unívoca a função inicial Y(x). Na transformação proposta a infor-mação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial Y(x) é pre-servada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não é preservada.

Em matematica, a Transformada de Legendre, é uma operação que transfor-ma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ* definida por:

Se ƒ é diferenciável, então ƒ*(p) pode ser interpretado como o negativo do in-tercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ*. Em particu-lar, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ* satisfaz a definição de um fun-cional.

A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e for-nece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transforma-das integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transfor-mada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para ma-ximizar px − f(x) em relação a x, faz-se a sua derivada igual a zero:

Então a expressão é maximizada quando:

Quando f é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda deri-vada é negativa:

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se x como função de p e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transfor-mada de Legendre de f(x): encontre p = df/dx inverta para x e substitua o resultado em xp − f(x). Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre