Transformada De Laplace

A TRANSFORMADA DE LAPLACE E ALGUMAS APLICAÇÕES

Fernando Ricardo Moreira1, Esdras Teixeira Costa2, Marcio Koetz3, Samanta

Andressa Santos Dumke Teixeira 4, Henrique Bernardes da Silva5

1Professor Mestre do Curso de Matemática da Universidade Federal de Goiás

(UFG) ([e-mail])

2Professor Doutor do Curso de Matemática da UFG

3Professor Doutor da Faculdade de Engenharia Agrícola da UFMT

4, 5Alunos de Graduação em Matemática na UFG

RESUMO

A transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta na resolução de

problemas envolvendo equações difero-integrais, diferenciais ordinárias e

parciais. Neste artigo definimos a transformada de Laplace e calculamos a

transformada para diversas funções elementares. Por último fizemos algumas

aplicações da transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial

em equações diferenciais ordinárias e problemas de valor de contorno em

equações diferenciais parciais.

PALAVRAS – CHAVE: Transformada de Laplace, Problema de Valor Inicial,

Transformada Inversa.

THE LAPLACE TRANSFORM AND SOME APPLICATIONS

ABSTRACT

The Laplace transform is a powerful tool in solving problems involving equations

difero-integrate, and partial differential equations. In this article we define the

Laplace transform and transformed to calculate the various elementary

functions. Finally we made some applications of the Laplace transform to solve

initial value problems in ordinary differential equations and problems of

boundary-value partial differential equations.

KEYWORDS: Laplace Transform, Initial-Value Problem, Inverse Transform.

1. INTRODUÇÃO

Muitos problemas em matemática aplicada recaem na resolução de

certas equações diferenciais, que na maioria das vezes não é uma tarefa fácil.

Portanto métodos que auxiliam na resolução de equações diferenciais são

sempre muito bem-vindos. Neste contexto, a Transformada de Laplace (Pierre

Simon de Laplace (1749-1827) estudou Mecânica Celeste e Teoria das

Probabilidades, Sobre uma biografia de Laplace veja Andreotti) é uma

ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Científico Conhecer - Goiânia, vol.6, n.9, 2010 Pág.1

ferramenta importantíssima para a resolução de problemas de valor inicial em

equações diferenciais.

A importância da Transformada reside no fato dela “transformar”

problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias, certos

problemas de valores de contorno para equações diferenciais parciais em

equações algébricas. Estes problemas de equações diferenciais nem sempre

são de trato simples.

Somente para dar um exemplo da importância da transformada de

Laplace na resolução de equações diferenciais, observe o seguinte o problema

de valor inicial:

.

A equação que aparece acima é uma equação difero-integral cuja

solução é garantida pelo Teorema de Picard, veja Sotomayor,1979. Este

teorema só garante a existência e unicidade de solução para problemas em

equações diferenciais ordinárias, mas não fornece uma direção para encontrar

esta solução. A equação acima não pode ser resolvida pelos métodos usuais

de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, mas pode

ser resolvida via a teoria da transformada de Laplace.

A transformada de Laplace também pode ser utilizada para resolver

certas integrais impróprias como:

e .

Neste trabalho iremos estudar um pouco sobre a Transformada de

Laplace e faremos algumas aplicações da sua utilização para resolver certos

problemas em equações diferenciais.

2. RESULTADOS E DISCUSSÃO

2.1 Definição da Transformada, Funções de Ordem Exponencial e

Existência da Transformada Inversa.

Agora iremos definir a transformada de Laplace e apresentar muitos

resultados que serão úteis no desenvolvimento da teoria apresentada.

Definição 2.1.1 – Dada uma função definida no intervalo

definimos a sua Transformada de Laplace, e denotamos por , por:

Supondo que a integral acima seja convergente pelo menos para algum

valor de . Por exemplo, considere a função . Sua transformada,

é dada por:

Equação (1)

Uma questão a ser levantada é a seguinte, que condição uma função

deve satisfazer para que sua transformada esteja bem definida, isto é,

que a integral dada na definição 2.1 seja convergente?