Vetores Próprios E Valores Próprios

Índice

Vetor Próprio e Valor Próprio de um operador linear

Determinação dos Valores Próprios e dos Vetores Próprios

Propriedades dos Vetores Próprios e Valores Próprios

Diagonalização de Operadores

Propriedades

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Propriedades

Bibliografia

 

Vetor Próprio e Valor Próprio de um operador linear

Seja T: V  V um operador linear. Um vetor v Є V, v≠0, é vetor próprio do operador se existe λ Є lR tal que:

T(v) = λv

O número real λ tal que T(v) = v é denominado valor próprio de T associado ao vetor próprio v.

Observações

Como se vê pela definição, um vetor v≠0 é vetor próprio se a imagem T(v) for um múltiplo escalar de v. no lR² e n lR³ diríamos que v e T(v) tem a mesma direção. Assim, dependendo do valor de λ, o operador T dilata v, contrai v, inverte o sentido de v ou anula no caso de λ=0

Na figura 1.1.a, o vetor v Є lR² é um vetor próprio de um operador T que dilata v, porque λ>1. A figura 1.1.b mostra o vetor v que não é vetor próprio de um operador T.

Os vetores próprios também são chamados de autovetores ou vetores característicos. Os valores próprios também são chamados de autovalores ou valores característicos.

Figura 1.1.a Figura 1.1.b

Exemplos

O vetor v = (5,2) é vetor próprio do operados linear

T: lR², T(x,y) = (4x+5y,2x+y)

associado ao valor próprio λ=6, pois:

T(v) = T(5,2) = (30,12) = 6(5,2) = 6v

Já o vetor v = (2,1) não é vetor próprio deste operador T, pois:

T(2,1) = (13,5) ≠ λ(2,1)

para todo λ Є lR.

Na simetria definida no lR³ por T(v) = - v, qualquer vetor v≠0 é vetor próprio associado ao valor próprio λ=-1.

2. Determinação dos Valores Próprios e dos Vetores Próprios

Determinação dos valores próprios

Seja o operador linear T: lR³  lR³, cuja matriz canônica é:

A = [■(a₁₁&a₁₂&a₁₃@a₂₁&a₂₂&a₂₃@a₃₁&a₃₂&a₃₃)]

isto é, A = [T].

Se v e λ são, respectivamente, vetor próprio e o correspondente valor próprio do operador T, tem-se:

A.v = λv (v é a matriz-coluna 3x1)

ou:

Av-λv = 0

Tendo em vista que v =Iv (I é a matriz identidade), pode-se escrever:

Av-λIv = 0

ou:

(A-λI)v = 0 (2.a)

Para que esse sistema homogêneo admita soluções não-nulas, isto é:

v = [■(x@y@z)] = [■(0@0@0)]

deve-se ter:

det(A-λI) = 0

ou:

det ([■(a₁₁&a₁₂&a₁₃@a₂₁&a₂₂&a₂₃@a₃₁&a₃₂&a₃₃)]- [■(λ&0&0@0&λ&0@0&0&λ)]) = 0

ou, ainda:

det [■(a₁₁-λ&a₁₂&a₁₃@a₂₁&a₂₂-λ&a₂₃@₃₁&a₃₂&a₃₃-λ)] = 0 (2.b)

A equação det (A-λI) = 0 é denominada equação característica do operador T ou d a matriz A, e suas raízes são os valores próprios do operador T ou da matriz A. o determinante det (A-λI) é um polinômio em λ denominado polinômio característico.

Determinação dos vetores próprios

A substituição de λ pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares 2.a permite determinar os vetores próprios associados.

Propriedades dos Vetores Próprios e Valores Próprios

Se v é vetor próprio associado ao valor próprio λ de um operador linear T, o vetor αv, para qualquer real α ≠ 0, é também vetor próprio de T associado ao mesmo λ.

De fato:

T(v) = λv

e:

T(αv) = αT(v) = α(λv)

ou:

T(αv) = λ(αv)

o que prova que o vetor αv é o vetor próprio associado ao valor próprio λ. Como feito nos problemas resolvidos 1 e 2.

Observação: αv é vetor próprio associado ao valor próprio λ, fazendo

α=1/|v| ; pode-se obter sempre um vetor próprio unitário associado ao valor próprio λ.

Se λ é um valor próprio de um operador linear T:VV, o conjunto S_λ de todos os vetores v Є V, inclusive o vetor nulo, associados ao valor próprio λ, é um subespaço vetorial de V.

De fato, se v₁, v₂ Є S_λ:

T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂) = λv₁ + λv₂ = λ(v₁ + v₂)

e, portanto, v₁ + v₂ Є S_λ.

Analogamente, se verifica que αv Є S_λ para todo α Є IR.

O subespaço S_λ = {v Є V/T(v) = λv} é denominado subespaço associado ao valor próprio λ ou subespaço característico de T correspondente a λ ou auto-espaço associado a λ.

Por exemplo, no problema resolvido 2 vimos que o valor próprio λ₂ = 6 correspondem aos vetores próprio do tipo v₂ = x(5,2). Assim, o auto-espaço associado a 6 é:

S_6 = {x(5,2)/x Є IR} = [(5,2)] que representa uma reta que passa pela origem.

Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos valores próprios.

De fato:

Sejam T: VV um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação entre as matrizes semelhantes é 〖[T]〗_(B ) = M^(-1) 〖[T]〗_A M, sendo M a matriz-mudança de base de B para A. Então:

det(〖[T]〗_B-λI) = det(M^(-1) 〖[T]〗_A M- λI) = det(M^(-1) 〖[T]〗_A M- λM^(-1) IM)

det(〖[T]〗_B- λI) = det(M^(-1) ([T]_A-λI)M) = det M^(-1)det(〖[T]〗_A-λI)detM

det(〖[T]〗_B- λI) = detM^(-1)detMdet(〖[T]〗_A-λI) = det(M^(-1) M)det det(〖[T]〗_A-λI)

det(〖[T]〗_B- λI) = det(〖[T]〗_A-λI)

Diagonalização de Operadores

Sabe-se que, dado um operador linear T: V  V, a cada base B de V corresponde uma matriz 〖[T]〗_B que representa T na base B. Nosso propósito é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T. Veremos que essa matriz é uma matriz diagonal

Propriedade

Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador T: VV são linearmente independentes.

Faremos a demonstração para o caso de λ₁ e λ₂ distintos. A prova para o caso de n valores próprios distintos é análoga.

Sejam T(v₁) = λ₁v₁ e T(v₂) = λ₂v₂, com λ₁≠λ₂.

Consideremos a igualdade:

a₁v₁ + a₂v₂ = 0 (1)

Pela linearidade de T, tem-se:

a₁T(v₁) + a₂T(v₂) = 0

ou:

a₁λ₁v₁ + a₂λ₂v₂ = 0 (2)

Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por λ₁, vem:

a₁λ₁v₁ + a₂λ₁v₂ = 0 (3)

Subtraindo (3) de (2):

a₂(λ₂-λ₁)v₂ = 0

Mas:

λ₂-λ₁≠0 e v₂ ≠ 0

logo:

a₂ = 0

Substituindo a₂ por seu valor em (1), tendo em vista que v₁ ≠ 0, vem:

a₁ = 0

Logo, o conjunto {v₁,v₂} é LI.

Corolário

Sempre que tivermos um operado linear T: lR²  lR² com λ₁≠λ₂, o conjunto {v₁,v₂}, formado pelos vetores próprios associados, será uma base de lR². Este fato vale em geral, isto é, se T: VV é linear, dimV = n e T possui n valores próprios distintos, o conjunto {v₁,v₂,...,v_n}, formado pelos correspondentes vetores próprios, é uma base de V.

Exemplo

Seja o operados linear T:lR²lR², T(x,y) = (-3x-5y,2y)

Determinar os valores próprios

A matriz canônica de T é:

A=[■(-3&-5@0&2)]

A equação característica de T é:

det(A-λI) = |■(-3-λ&-5@0&2-λ)|=0

ou:

(-3-λ)(2-λ)=0

λ²+λ-6=0

Δ=1+24=25

λ= (-1±5)/2 {█(λ₁=2@λ₂=-3)┤

Os valores próprios de T são λ₁=2 e λ₂=-3. Como λ₁≠λ₂, os correspondentes vetores próprios associados formam uma base de lR².

Determinar os vetores próprios

Calculando os vetores próprios por meio do sistema homogêneo:

[■(-3-λ&-5@0&2-λ)][■(x@y)]=[■(0@0)]

Obteremos:

Para λ₁=2 os vetores v₁ =x(1,-1);

Para λ₂=-3 os vetores v₂ =x(-1,0).

Logo, o conjunto: {(1,-1),(-1,0) é uma base de lR².

Propriedade

Consideremos um operador linear T em lR³ que admite valores próprios λ₁, λ₂ e λ₃ distintos, associados a v₁,v₂ e v₃, respectivamente. O corolário ad propriedade anterior nos assegura que o conjunto P = {v₁,v₂,v₃} é uma base de lR³.

Tendo em vista que

T(v₁) = λ₁v₁ = λ₁v₁ + 0v₂ + 0v₃

T(v₂) = λ₂v₂ = 0v₁ + λ₂v₂ + 0v₃

T(v₃) = λ₃v₃ = 0v₁ + 0v₂ + λ₃v₃

o operador linear T é representado na base P ds vetores próprios pela matriz diagonal:

〖[T]〗_P= [■(λ₁&0&0@0&λ₂&0@0&0&λ₃)]=D

constituída de valores próprios na diagonal principal.

Sendo A a matriz canônica do operador T,isto é, [T] = A, as matrizes A e D são semelhantes por representarem o mesmo operador T em bases diferentes. Logo:

D=M^(-1) AM

sendo M a matriz-mudança de base P para canônica C = {e₁,e₂,e₃}, onde e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0) e e₃ = (0,0,1).

Como:

M= 〖[I]〗_C^P=C^(-1) P=I^(-1) P=P

a relação anterior escreve-se:

D=P^(-1) AP (4.2.1)

sendo P a matriz cujas colunas são vetores próprios do operador T (estamos designando por P tanto a base de vetores próprios quanto a matriz acima descrita).

A relação (4.2.1) motiva a definição a seguir:

A matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P^(-1) AP seja diagonal.

Diz-se, nesse cão, que a matriz P diagonaliza A, ou que P é a matriz diagonalizadora.

A definição acima pode ser expressa de modo equivalente: Um operador T: VV é diagonalizável se existe uma base de V formada por vetores próprios de T.

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Propriedades

A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais.

Faremos apenas a demonstração para o caso de uma matriz simétrica A de ordem 2.

De fato: seja a matriz

A = [■(p&r@r&q)]

A equação característica de A é:

det(A-λI)= |■(p-λ&r@r&q-λ)|=0

isto é:

(p-λ)(q-λ)-r²=0

ou:

pq-λp-λq+λ²-r²=0

λ²-(p+q)λ+(pq-r^2 )=0

O discriminante dessa equação do 2º grau em λ é:

(p+q)^2-4(pq-r^2 )=p²+2pq+q²-4pq+4r²=(p-q)^2+4r²

Tendo em vista que esse discriminante é uma soma de quadrados (não-negativa), as raízes da equação característica são reais e, por conseguinte, a matriz A possui valores próprios.

Se T: VV é um operador linear simétrico com valores próprios distintos, então os vetores próprios são ortogonais.

De fato:

Sejam λ₁ e λ₂ dois valores próprios do operador simétrico T e λ₁≠λ₂. Sejam ainda T(v₁) = λ₁v₁ e T(v₂) = λ₂v₂. Pretendemos mostrar que

v₁ . v₂ = 0

Sendo T um operador simétrico:

T(v₁) . v₂ = v₁ . T(v₂)

ou:

λ₁v₁v₂ = v₁λ₂v₂

ou:

λ₁(v₁ . v₂) - λ₂(v₁ . v₂) = 0

ou, ainda:

(λ₁-λ₂) (v₁ . v₂) = 0

Mas,

λ₁-λ₂≠0 implica v₁ . v₂ = 0, ou seja:

v₁ v₂

Em 4.2 vimos que a matriz A é diagonalizada pela matriz P dos vetores próprios através de:

D=P^(-1) AP (5.1.1)

No caso particular de A ser simétrica, pela propriedade anterior, P será base ortogonal.

Tendo em vista futuras aplicações, é conveniente que P, além de ortogonal, seja ortonormal, o que se obtém normalizando cada vetor.

Assim, os vetores ortonormais de P formarão uma matriz ortogonal e, tem – se P^(-1)=P^t. Portanto a relação (5.1.1) fica:

D= P^t AP

E, nesse caso, diz-se que P diagonaliza A ortogonalmente.

Bibliografia

Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo. Álgebra Linear, 2.ed., São Paulo: McGraw Hill, 1987.