Estatistica

PROBABILIDADE

Introdução:

O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferência.

Experimento Aleatório

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

Exemplo:

Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:

- que ele ganhe - que ele perca - que ele empate

Este resultado final pode ter três possibilidades.

Espaço Amostral

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.

No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral :

{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.

Eventos

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Se E = S , E é chamado de evento certo.

Se E  S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.

Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.

Conceito de Probabilidade

Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) o número real P(A) , tal que : número de casos favoráveis de A / número total de casos

OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral tem a mesma chance de acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.

Exemplos:

1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ?

S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.

4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%

Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1

Obs:Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1 .

Eventos Independentes

Quando a realização ou não realização de um dos eventos nã afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?

Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:

P(1 n 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)

P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6

P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)

Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Apresentaremos neste capítulo três modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá a solução de grande número de problemas práticos.

Variável Aleatória

Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável