Seja A Função F(x)=3x²-bx+c, Em Que F(2)=10 E F(-1)=3. Calcule B, C E O Valor Da Expressão F(3)+2.f(1)?

ada uma função quadrática definida por , com , e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, é o valor de x que resulta em y = 0.

Vamos analisar o gráfico da função que pode ser visto ao lado:

Notamos que nos pontos (1, 0) e (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que é 1 no primeiro ponto e 3 no segundo, anulando a função, isto é, cuja ordenada (y) é igual a zero. Então x = 1 e x = 3 são raízes da função.

No caso da função analisada vimos que a mesma possui duas raízes reais distintas, mas como veremos a seguir, uma função quadrática também pode possuir apenas uma raiz real, ou ainda não possuir qualquer raiz real.

Quando o elemento 0 não pertence ao conjunto imagem da função, esta não possui qualquer raiz, graficamente a parábola na corta o eixo das abscissas.

Quando o elemento 0 pertence ao conjunto imagem da função e todos os demais elementos da imagem são positivos ou todos os demais elementos são negativos, então a parábola apenas tangencia o eixo das abscissas e por isto a função tem somente uma raiz real.

Determinando as Raízes de uma Função Polinomial do 2° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função cujo gráfico temos acima.

Para que um valor x seja raiz da função, é necessário que f(x) = 0.

Realizando tal substituição na lei de formação da função temos:

Como a equação encontrada é uma equação do segundo grau, para determinarmos os valores de x que são raízes da função, basta encontrarmos as raízes desta equação:

Como era previsto, 3 e 1 são os valores de x que tornam y = 0. No gráfico os pontos (1, 0) e (3, 0) são os pontos representantes das raízes desta função.

Em resumo para encontrarmos as raízes de uma função quadrática basta substituirmos o f(x) ou y da lei de formação da função, por 0 e solucionarmos a equação do segundo grau encontrada, chegando assim às raízes da função, obviamente se existirem.

Estudo do Sinal de uma Função Quadrática

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Vamos analisar novamente o gráfico da função :

Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.

Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.

Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Então para a função temos que:

A função é negativa para .

A função é nula para .

A função é positiva para .

A representação também pode ser assim realizada: