A Definição de números Complexos

Definição de números Complexos

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i = [pic 1]

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ([pic 2])
Se z = a + bi então [pic 3]= a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

[pic 4]

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi , [pic 5]= a – bi e z1 = c + di

Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos: [pic 6]

Resolver uma equação do 2° grau usando número complexo.

Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < 0, nenhuma raiz real.

Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .

Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:

z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i


2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144

Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.

Representação geométrica dos números complexos 

Plano de Argand Gauss 

O conjunto C também pode ser representado pelos pontos do Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.

Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) = a + bi, chegamos à conclusão de que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números complexos.

Ponto P: imagem geométrica de c ou o afixo de c.
Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.
Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números imaginários puros. 

[pic 7]

Interpretação geométrica 

1) O módulo ρ simboliza a distância entre os ponto P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras temos: 

2) O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por , que é determinado no sentido anti-horário partindo do semi-eixo . Sendo assim, da trigonometria, temos:

[pic 8]

3) Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado pelas suas coordenadas polares.

c = a + bi ⇔ P(a, b) 

4) Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado pelas coordenadas polares.